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Full text of "Tables de logarithmes à 27 décimales pour les calculs de précision"

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PHILLIPS LIBRARY 

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TABLES DE LOGARITHMES 



A 27 bÉCIMALES 



/ 



— 2 — 

49 et 43; cest-à-dire, pour cent nombres naturels consécutifs 
on na que 43 ou au plus 49 logarithmes différents; par con- 
séquent entre 9 000 000 et 9 999 999 il y a toujours deux 
ou trois nombres consécutifs qui ont le même logarithme; 
aussi, parmi les nombres naturels compris entre ces deux 
limites, y en a-t-il plus de la moitié qu'on ne peut jamais 
obtenir à l'aide des logarithmes à 7 décimales. 
Ainsi par exemple : 

log 9780533 j 

log 9780684 / =6, 99o3648 

log 9780685 ) 

Réciproquement, si Ton cherche le nombre dont le loga- 
rithme est 6,99o3648, on trouve 9780684; mais on ne 
pourra jamais obtenir à l'aide des tables à sept décimales ni le 
nombre 9780683, ni le nombre 9780685. 

En général^ tout logarithme contenu dans la table est 
susceptible d'une erreur par excès ou par défaut d'une demi- 
unité; l'interpolation y ajoute une seconde erreur qui peut 
s'élever également à une demi-unité: par conséquent tout loga- 
rithme extrait directement de la table peut être en erreur d'une 
unité. 

Exemple : On demande d'évaluer par les logarithmes 

_ 321^73x819255 

""452604 X595ii8 

log 321473 = 5,6071446 

log 8 192 55 = 5,9 134192 
comp. log 462604 = 4,3442817 
comp. log 6961 18 = 4.2263970 

logx = 9, 9902426 
donc a?=o, 9777831 



— 3 — 

Tous ces logarithmes ont été déterminés avec toute l'exacti- 
tude que comportent les tables à sept décimales, et pourtant 
chacun d'eux est en défaut de près d'une unité. 

Le résultat exact est 

loga:= 9,9902^21 et a:=:o, 9777822 

ce qui constitue une erreur de neuf unités du dernier ordre 
dans le résultat obtenu à l'aide des logarithmes à 7 décimales. 
En général, pour trouver avec n décimales le logarithme 
d'un nombre donné par approximation, il faut connaître les 
(n+ 1) premiers chiffres de ce nombre; et réciproquement, si 
le nombre est demandé avec n chiffres, il faut connaître 
(n+ 1) décimales du logarithme. 



_ 4 — 



II 

RECHERCHE DU LOGARITHME 

PAR LA MÉTHODE DES RÉCIPROQUES APPROCHES. 



Dans tout logarithme vulgaire on distingue deux parties : le 
nombre entier ou caractéristique, et la partie décimale ou mantisse. 

La caractéristique renferme toujours autant d'unités moins une 
qu'il y a de chiffres à la partie entière; on l'obtient par la simple 
inspection du nombre. 

La mantisse, seule partie du logarithme que l'on inscrive dans les 
tables, est aussi la seule qu'il faut calculer et dont par conséquent 
nous ayons à nous occuper. 

On sait que la mantisse est complètement indépendante de la 
position de la virgule décimale dans le nombre; on pourra donc con- 
sidérer les nombres indépendamment de la position de la virgule; 
il en sera de même des facteurs auxiliaires par lesquels nous aurons 
à les multiplier : par conséquent, dans les calculs qui vont suivre, on 
placera ia virgule décimale du nombre dont on cherche le loga- 
rithme, ainsi que celles des facteurs, de la manière qui semblera la 
plus commode, soit pour le raisonnement, soit pour le calcul. 



NOTATION. 



Pour faire usage de nos tables, nous emploierons une notation 
qui facilite considérablement le calcul, et qui ne peut donner lieu à 
aucune équivoque; pour la faire comprendre immédiatement, il 
suffit d'en donner quelques exemples avecla traduction en regard. 



\ 



— 5 — 

Ainsi o,o'8 signiGe 0,0008 

1,0*8 » 1,00008 
1,0*8 » 1 — 0,00008 = 0,99992 

Les nombres donnés sous cette forme servent de multiplicateurs; 
mais les multiplications sont très-faciles. 

Pour effectuer la multiplication d'un nombre décimal quelconque 
par un nombre de la forme (i ±-^K on sépare d'abord du multi- 
plicande les n derniers chiffres, ce qui équivaut à la division par 10°; 
puis on multiplie les chiffres qui restent, par le facteur a; le résultat 
de la multiplication ajouté ou soustrait, suivant le signe de a, donne 
le produit demandé. 

Exemple 1. Soit à multiplier 1,00006.56177 par 1,0002 

1,00006 55177 X 1,0^2 
2 i3i 



Produit = 1 ,00026.55308 

Ex. 2. Multiplier 0,99997.034567 par i,oooo3 

o, 99997. 034567X 1,0*3 
2.999911 



Produit = 1,0^34478 



Ex. 3. Multiplier 1,00000.047 1 2. 5 1 683 1 par 0,9999996 

1,0^4 712.51 683 IX 1,0^4 
4 i885 



Produit— 1, 0^712.514946 



— 6 



LOGARITHME DE (l ±6). 

Désignons par e la base des logarithmes naturels : 



e=2+^ + r^-f 



2 2.3 2.3.4 

e = 2,7 I 82818284» . -, 

et parAson logarithme vulgaire, Â: = loge = o, 43429. . . (lab. I.): le 
nombre k s^appelle \e modale des logarithmes vulgaires. 

Lorsqu'un nombre diffère peu de Tunité, soit en plus, soit en 
moins, de manière que les n premiers chiffres après la virgule déci- 
male soient tous des zéros, ou tous des 9, son logarithme à 2/1 
chiffres est égal au module multiplié par la fraction décimale qui 
est la différence entre ce nombre et l'unité, ou 

log [i+e)=ke ^ 

et 

\o^[i-e)=-ke 

Ainsi, on trouve avec dix décimales exaclcs : 

log i,ooooo4= 0,00000.17372 

^% o,999996 = ~o,ooooo.i7372 1=9,99999.82628 

La première partie de la table III contient les 110 premiers mul- 
tiples de i, et donne, soit directement, soit à l'aide d'une simple 
addition, les logarithmes à 271 décimales de tous les nombres com- 
posés de l'unité suivie de n zéros au moins, et de tous les nombres 
commençant par n chiffres 9. 

On prendra les chiffres de la fraction décimale deu)^ à deux , et 
l'on écrira au-dessous le produit parle module, produit qui sera tou- 
jours un peu moindre que la moitié du nombre exprimé par les 
deux chiffres. 



En, 4. On demande avec 13 décimales log 1,000000.349689 
Ce logarilhme est égal à 4x0,0^349689 

1,0^349689 

147660.1 pour 34 (table III) 
4169.2 » ■ 96 
38.7 » 89 



donc log 1,0^349689 = 0,0^1 5 1868 

Ex. 5. On demande avec 12 décimales log 999999660311. 

On a o, 999999. 65o3i 1 = 1 —0,0*349689; donc son logarithme 
sera égal à — /fX 0,0*349689, ou, d'après l'exemple précédent, égal 
à— o,o^'i5i868; d'où log 99999966031 1 = 1 1,999999.848132. 

Ex. 6. On demande avec 27 décimales le logarithme de : 

1,0^*1 1 2233.44551.09 

47772.39300.936 

955.44786.019 

14.33171.790 

19108.967 
238.862 

473 



donc log=: 0,0^^48742.36607.04 

Ex. 7. On demande avec 27 décimales le logarithme de : 

0'99999-99999-99998-87766.55448.9i 

Ce nombre est égal à 1 — 0,0^*1.1 2233. 44661.09 ; et comme 
la Fraction décimale est égale à celle de l'exemple précédent, mais de 
signe contraire, le Idgarithme qu'on cherche sera négatif et égal au 
logarithme de l'exemple 6. Le logarithme demandé sera donc 

=—0,0^^8742.36607.04 
o"=9^99999-99999'99999'5i 267.63392.96. 



Ainsi donc, cette seule table des i oo premiers multiples de k suffit 
pour donner par de simples additions les logarithmes avec 27 ou 
avec moins de 27 décimales de i43 trillions(i43.io^^) de nombres. 



•RECIPROQUES APPROCHÉS. 

Puisqu'on connaît directement le logarithme de (1 ±0), lorsque 6 
est suffisamment petit, il est évident que Ton connaît également le 
logarithme de tout autre nombre, lorsqu'en le multipliant par un ou 
plusieurs facteurs compris dans les tables, on obtient un produit de 
la forme (1 ±6). On y arrive facilement au moyen des réciproques 
approchés. 

Deux nombres sont réciproques l'un de l'autre, lorsque leur pro- 
duit est égal à l'unité; ainsi 6,4 et 0,1 5625 sont réciproques, car 
6,4xo,i5625 = 1. 

Soit a une quantité moindre que l'unité, il résulte de la relation 

(1 +a) (1 — a)= 1 — a- 
que 

(i+a)(i-a) + a'= 1 
donc 

(,+a)(,_a + ^):z., et (, -a) (i +a+:^)= i 

On voit que la somme d'un nombre et de son réciproque est tou- 
jours plus grande que 2 ; mais elle n'en diffère que d'une quantité à 
peu près égale au carré de a, lorsque celui-ci est petit. 

Par conséquent, si a est suffisamment petit, et si desi une quantité 
moindre que a, 

( 1 + a) sera le réciproque approché de [i —a + d] 
.et 

(1 —a) sera le réciproque approché de (1 +a + c/) 

Désignons le nombre par N et son réciproque par R , de manière 



— 9 — 



que NR = 1 ; et soit, par exemple , a=o,ooo3 ; le réciproque de i ,000 3 
sera plus grand que 0,9997 ; mais il n en diffère que d'une quantité 
moindre que 0,00000009; en effet on a 



donc 



et 



N= i,ooo3 
R>o.9997 
R = o^9997-oo<^8.9973 
N + R = 2,o''89973 



Le produit d'un nombre par son réciproque étant égal à Tunité, 
il s'ensuit que si Ton multiplie un nombre par son réciproque 
augmenté ou diminué d une petite quantité, le produit sera plus grand 
ou plus petit que l'unité, qu'il sera de la forme (1 ±6), et que la 
quantité 6 sera d'autant plus petite que la différence entre le réci- 
proqae approché et le réciproque exact sera moindre. 

Ainsi, par exemple, le réciproque de 5,3 est 0,188679 et leur 
produit est égal à l'unité; si au lieu d'employer pour facteur le réci- 
proque exact 0,188679. • • ^^ niultipHe 5,3 par 0,19 valeur appro- 
chée du réciproque, on obtient pour produit 1,007. 

De même, le réciproque de i,ooo8oo6543 est plus grand que 
0,9991993457, et si l'on multiplie ce nombre par 0,9992 ou 1,0^8, 
on obtient pour produit i,o''i38. 

Enfin, comme nous allons le démontrer plus loin, tout nombre 
peut, à l'aide d'une ou de plusieurs multiplications par des réciproques 
approchés, être amené à un produit de la forme (1 ±0), dont on 
trouve directement le logarithme dans la table III. 

La question de la recherche des logarithmes se réduit donc à 
choisir des réciproques approchés qui soient tous compris dans la 
table. 

Il est facile de remplir cette condition à faide des considérations 
suivantes : 



— 10 — 

I. Tout nombre mullipUé par son réciproque forcé au second chiffre 
donne pour produit Funité suivie immédiatement d'un zéro au moins. 

En effet, si Ton s*arrêle au second chiffre du réciproque en laug- 
mentant d'une unité, il est évident qu^on Taura augmenté de moins 
d\m dixième de sa valeur; par conséquent en multipliant le nombre 
par son réciproque forcé, on aura un produit plus grand que i , mais 
plus petit que 1,1 ; donc le premier chiffre décimal du produit sera 
nécessairement un zéro. 

Exemple: Le réciproque de 77 est 1298701 ; si Ton multiplie 77 
par i3, on obtient pour produit 1001. 

La table I donne les réciproques de tous les nombres naturels de 
1 à 100; pour connaître le réciproque forcé d'un nombre, on pren- 
dra dans la colonne intitulée f-j deux nombres consécutifs, Tun 
plus grand, l'autre plus petit que le nombre donné, abstraction faite 
de la virgule décimale; puis on multipliera par le plus grand des 
deux réciproques. 

Ainsi, par exemple, étant donné le nombre 27802345, on trouve 
dans la table que ce nombre est compris 

entre 2867 .... réciproque de 35 
et 2778. . . . réciproque de 36 

donc le réciproque de 2780 est compris entre 35 et 36, cl en le 
multipliant par 36, on doit obtenir un produit plus grand que l'unité, 
mais moindre que 1,1; en effet : 

3,6 X 0,27802345= 1,00088442. 

U. Lorsqu'un nombre est composé de Vunité suivie d'une fraction déci- 
male dont les premiers chiffres sont des zéros et qu'on le multiplie par l'unité 
diminuée de la valeur du premier chiffre significatif, on obtient toujours un 
produit plus approché de l'unité que le nombre donné. 

Ainsi, par exemple, si les premiers chiffres du nombre donné sont 



— 11 — 

1 ,000^1 . . , on le multipliera par son réciproque approché au cin- 
quième chiffre i ,o'4. 

Comme le réciproque de i ,o'4 ou de 0,9996 est 1 ,000^00 1 6oo64i 
il s'ensuit que si le nombre donné est plus grand que ce réciproque, 
c'est-à-dire, s'il est compris entre 1,000^9999 ®* i,oooAooi6, le 
produit sera plus grand que l'unité, mais il sera toujours plus petit 
que 1,0*5x1,0^4=1,00009980; par conséquent, le produit aura 
toujours au moins un zéro de plus après la virgule décimale. 

On aura par exemple : 

1 ,oM9896x 1 ,0*4 = 1 ,0*9876 
1,0*40694x1,0*4= 1,0*678 
1,0*40094x1,0*4= 1,0^78 
1 ,o*4oo24x 1 ,0*4 = 1 ,0^8 
1,0*40017x1,0*4= 1,0'' 1 

Enfin, si le nombre donné est moindre que le réciproque de 1 ,o*4, 
c'est-à-dire, s'il est compris entre i,ooo4.ooi6 et i,ooo4.oooo, le 
produit sera moindre que l'unité, mais plus grand que i,o*4xi,o*4 
= 0,9999.9984; par conséquent, les zéros seront remplacés par un 
nombre au moins double de chiffres 9; ainsi on aura : 

I ,o*4oo 1 5x 1 ,0*4 = 0,99999999 
1 ,o*4ooo3 X 1 ,0*4 = 0,99999987 

Désignons en général par a la valeur absolue du premier chiffre 
significatif; 

Et par d la valeur de la fraction décimale qui le suit; 

Le nombre sera {i +a + d), et si l'on effectue la multiplication par 
le réciproque approché (1 — a), le produit sera [i + cf — a(a + (/)]; 
par conséquent, le premier chiffre de la fraction décimale sera sup- 
primé, et la fraction décimale qui le suit sera diminuée. 

Mais le réciproque de ( 1 — a) est ( 1 +a+ -3-); donc, si d est 

plus grand que — ^, le nombre {i +a+d) est plus grand que le ré- 



— 12 — 

ciproque de ( i — a), et le produit sera plus grand queTunité; mais il 
aura au moins un zéro de plus que (i +a-\-d), attendu qu'il sera 
moindre que (i 4-d). 

Exemple : 

1,00007.26334 X 1,0^7 
7. 5i 



1, 0^26283 



Si d est moindre que -^—t le nombre {i +a+d) sera plus petit 
que le réciproque de (1 — a); donc le produit sera compris entre 
Funité et (1 +a) (1 — a)= 1 — a^. 

Or a est un nombre entier du n* ordre décimal, compris entre 
1 et 9; donc son carré a^ sera du 211*' ordre décimal et compris entre 
1 et 8 1 , et si (1 + a) contient (n — 1 ) zéros après la virgule décimale , 
(1 — a^) contiendra un nombre de 9 au moins double. 

Exemple : 

1 ,00007.00045 X 1 ,0*7 
-7. 49 



0'99999-99996 



m. Lorsqaun nombre commence par plusieurs chiffres 9 et quon le 
multiplie par Tanilé augmentée du complément arithmétique du premier 
chiffre décimal à lai* suite des 9, on obtient toujours un produit plus rap- 
proché de Vanité que le nombre donné. 

Ainsi, par exemple, soit le nombre donné 0,9996 , on le 

multipliera par 1 ,o^4. 

Comme le réciproque de i,o^4 est 0,9996001599. ., il s'ensuit 
que si le nombre donné est plus grand que ce réciproque, c'est-à-dire 
s'il est compris entre 0,9996.9999 et 0,9996.0016, le produit sera 
plus grand que l'unité, mais il sera plus petit que 0,9997X1,0^4 



— 13 — 

= i,o^3xi>o^4= 1,00009988; par conséquent, on obtiendra pour 
produit Funité suivie d'un nombre de zéros plus considérable que le 
nombre des 9 par lesquels commençait le nombre proposé. 
Ainsi, par exemple, on aura avec 8 décimales: 

o,99965696x i,o^4= 1,0*6682 
• 0,99960694x1,0*4=1,0^678 
0,99960094 X 1 ,oM= 1 ,0^78 
o,9996oo24x i,o*4= 1,0*^8 
o,9996ooi6x i,o*4= 1 

Enfin, si le nombre donné est moindre que le réciproque de 1 ,o*4, 
c'est-à-dire, s'il est compris entre 0,99960016 et 0,99960000, le 
produit sera moindre que Funité, mais plus grand que 

i,o34x 1,0^ = 0,99999984; 

par conséquent on aura, après la virgule décimale, un nombre de 9 
au moins double ; par exemple : 

o,9996ooi5x 1,0*4 = 0,99999999 

En général, désignons par a le complément du premier chiffre 
après les 9, et par d la valeur de la fraction décimale qui suit; le 
nombre sera [i - a + d)y et si Fon effectue la multiplication par le 
réciproque approché ( 1 + a), le produit sera 

1 +(/— a (a— d) 

Mais le réciproque de (1 +a)est fi •— a+ -^); donc, 

si (/ > -^, le nombre (1 —a + d) sera plus grand que le réciproque 

de (1 + a) et le produit sera plus grand que Funité; en outre, puisque 
ce produit est moindre que [i + d), il aura au moins un zéro de plus 
que le nombre n'avait de 9. 

Par conséquent, tous les 9 el le premier chiffre de la fraction 



— 14 — 

décimale a seront siippri*més, et la fraction décimale qui les suit sera 
diminuée de a{a'—d). 

Exemple : 

0,99995.84672x1,0*5 , 

^'99979 

1,00000.8465 1 

Si d<C' ' le nombre (i — a+(i) sera moindre que le réciproque 

de (i + a), et le produit sera moindre que Tunilé, mais plus grand 
que 

(1 — a)(i+a)=i— a2 

Donc, si a est un nombre entier du n* ordre décimal compris entre 
1 et 9, son carré à^ sera du 2/1* ordre décimal et compris entre 
1 et 8 1 ; et lorsque (1 — a) contient (w — 1) chiffres 9 après la virgule 
décimale, (1— a^) contiendra un nombre de 9 au moins double. 

Exemple : 

0,99995.0002 1 X 1 ,0*5 

^'9997-'> 
0.99999-99996 

Les tables II et IV contiennent les logarithmes des nombres de la 
forme m + — i)' depuis w= 1 jusqu'à 7i= i4; à partir de là on a 



et 



par exemple : 



log l,O^M=: 0,0^*1 7 .371 77 .92761 ,50 

log 1,0^*4 = 0,0^* 1 .73717. 792 76. i5 
log 1,0^^4=0,0^^ I 787 1 . 77927 .62 
log 1 ,o'^4=o,o^^ 1 787 . 1 7792 . 76 



— 15 — 

En résumé, d'après ce que je viens de démontrer, toute la re- 
cherche du logarithme d'un nombre donné se réduit à multiplier 
successivement le nombre par des réciproques approchés au second 
chiffre significatif, jusqu'à ce quon soit arrivé à un produit de la forme 
( 1 zh 0), dont on trouve le logarithme par simple addition. 

On multiplie d'abord le nombre donné par son réciproque forcé au 
second chiffre; le produit sera un nombre composé de l'unité et d'une 
fraction décimale commençant par un ou plusieurs zéros; ensuite ce 
produit multiplié par l'unité diminuée de la valeur du premier chiffre 
significatif (c'est-à-dire, par son réciproque approché au deuxième chiffre 
significatif) donnera un nouveau produit ayant après la virgule déci- 
male au moins un zéro de plus. 

En continuant de procéder ainsi , on finira par obtenir un produit 
de la forme ( i +6) et dont le logarithme est égal k kd. 

Soit N le nombre donné, p son réciproque forcé, 
(i — <ï)» ( 1 — ^)» (i — c), . . . les autres facteurs, 
( — a), ( — 13), ( — y)>. • . leurs logarithmes respectifs, 
et soit ( 1 +Ô) le produit final, 

on aura : N/) ( i —a) ( i — b) ( i — c) . . . = i + 6 

d'où logN+logjp— (a + (3 + y + . . .) = ke, 

et logNzncomp. log/>-f(a-f |S+yH-. . .)+k6 

Or, la table I contient les compléments des logarithmes des cent dix 
premiers nombres naturels; 

La table II contient les compléments des logarithmes des nombres 
de la forme ( i — ^ j ; 

Et la première partie de la table III contient les multiples de k. 

Par conséquent, au moyen de ces trois tables, il sera toujours 
facile de trouver le logarithme de tout nombre donné. 

Ex. 8. Calculer avec i o décimales exactes log 5882365^32. 
En multipliant le nombre donné par son réciproque forcé 17^ on 



— 16 — 

obtient pour produit i ,0*2 1 2 344, dont on trouve, table III, le loga- 
rithme au moyen d\me simple multiplication par le module. 

Voici tout le calcul : 

58823.65432 X17 

41176.558024 

1,00000.212344 =:l+6 



91201 .8 

998.9 
19.1 

,76955. 107862 =:comp. log 17 (lab. I) 



log N = 9,76955 .200082 

Ex. 9. Calculer avec 10 décimales exactes le logarithme de : 

1,96471598 

On voit, lablel, que le réciproque du nombre donné est moindre 
que 5 1 ; en multipliant le nombre par 5 1 , on obtient pour produit 
i,oo2 0o5. . .,qui, multiplié lui-même par son réciproque approché 
0,998 ou 1,0^2, donnera pour produit final 1,0^11395 dont on 
trouve directement le logarithme table III. 

Voici tout le calcul : 

19647 . 1598 . x5i 
982357.990 

1, 00200.51498 X 1,0^2 
200. 4oio3 

1,0^. .1 1395 =1+6 



47772 

1694 

. 22 



4949 =log(i + Ô)^ 
86 . 94587 = - log 1 ,0^2 (lab. II) 
29242 .98239 — comp. log 5i (lab. I) 



logN = o,29329. 97775 



— 17 — 

Ex. 1 0. (Calculer le logarithme de i ,ooo4o . o 1 2 1 3 avec 1 2 chiffres 
exacts. 

1 ,ooo4o.oi5i2 . i3o X 1,0^4 
4 1600. 6o5 

0.99999-9991 1-525 =i^d 

88.475 =e 



38. 218 
206 



-38.424 =log(i-0). 
0,0^17 .37525.456 =comp. log i,oM (tab. 11) 



log N = 0,000 1 7 . 37487 . o32 

Dans cet exemple, le produit du nombre donné par son réciproque 
approché i,o^4 est moindre que l'unité, par conséquent son loga- 
rithme est négatif. . _ * 

Ex. IL Déterminer avec i5 décimales log 99999. 98234. 56789 
0,99999.98234.567890 X 1,0^2 
1999-999647 

1,0!' 234.567537 Xl,o''2 
2 5 



3A. 567532 ^e 



4. 766012 

243205 

3257 
i4 



0,0» 1 5. 012488 ~log(j+0) 

86.858897 =comp. log 1 ,0^2 
-868.588877 =-log 1,0^2 (tab. IV) 



logN = 1 4,99999 • 99233 . 282508 



— 18 — 

Exemple 12. Calculer avec i5 décimales exactes le logarithme 
de îT = 3,1^1159.26535.89793 

3iyii .59265.35897 .93 x32 

6283. 18530.71795.86 
942^7-77960.76937.9 



1,00530.96491.48733.76 X 1,0^5 
5o2. 65482 .45743.67 



28.31 009 . 02 990 . 09 


Xl,o'2 


2 566. 20180. 60 




8.3o442 .82809.49 


XI, 0*8 


8. 66,43542.62 




30376.39266.87 


X 1,0^3x1,0^3 


3 3 gi 1 2 .92 




i.i3 




76.3oi52 .82 


=e 


33. oo638.o6 




1 3028. 83 




65. i4 




1 . 22 

1 





33.13733.26 zz=iog(l+/9) 

i3o. 28834-65 

i3o28.854oo.o4 

3.47449-48368. 73 

8.68675.83428.58 

217 .69192 .54274.55 

49485 . 002 1 6 . 80094 . 02 



logTT = 0,497 ^ ^ • 98726 . 94 1 34 



— 19 — 

Exemple 13. Calculer sfvec 27 décimales le logarithme 
de 0,99999 •6ooo3. 16699.85562 .5!|434.36 : 

0,99999.60003. 16699.85562 .52^34. 36 X 1,0^4 

39999.84001 .26679. 9^220.01 

I, o® 3,00701 . 122/12 .46659.37 XI, 0*3 X 1,0^27 

3 7 9.02103.37 

4.91 
1.12233.44551.09 =0 



47772.39300.936 (voir ex. 6) 

955.44786.019 

i4-33i7i .790 

19108.957 

238.862 

473 



48742 .36607.04 
3o4.oo6i 3. 7332 3.83 
1 .30288.34459.05188.00 
,99999.82628.25546 73358.29942.58 = comp. 1,0^4 

logN=9, 99999 . 82629 . 56 1 39 . 57 1 73 . 45o6 1 . 45 



m 

RECHERCHE DU NOMRRE. 



Lorsque le logarithme donné est une fraction décimale, positive ou 
négative, dont la première moitié au moins est composée exclusive- 
ment de zéros, le nombre correspondant est égal à Tunité, plus le 
logarithme divisé par le module; 

ainsi , si log a: = 0, on aura a? = i + ^ 
et si log X — — 0, on aura x:= i —t 

Or, puisque k= 0,43^29 . . . , ona t^ = 2,3o2 58 . . . (voir tab. I), 
par conséquent le nombre cherché est un peu plus grand que l'unité 
augmentée du double du logarithme. 

Par exemple si log a; = 0,00001 ., on a x=: 1,00002 . 8026 

et si log a:=: — 0,00001 = 9,99999 

x=/— 0,00002 . 3o26=nj,99997 .697/1 

La seconde partie de la table III contient les cent dix premiers 
multiples de ^ et donne soit directement, soit à Faide d'une simple 
addition, les nombres à (an — 1) chiffres de tous les logarithmes po- 
sitifs ou négatifs commençant par n zéros. 

On prendra les chiffres deux à deux, en écrivant au-dessous le pro- 
duit qui est toujours un peu plus grand que le double du nombre 
exprimé par les deux chiffres. La somme de tous ces produits partiels 
augmentée de l'unité sera le nombre cherché. 



— 21 — 
Par exemple, soit log x = 0,000000 . 1 5 1868 

on trouvera (tab. III) 345387.8 pour i5 

4 144.7 » i8' 
i56.6 . 68 



doncx= 1,000000. 349689 

Pour tout autre logarithme, le calcul du nombre correspondant 
est très-simple : 

Du logarithme donné on retranche celui de la table F, qui s'en approche 
le plus par défaut; on agit de même pour tous les restes obtenus successi- 
vement ^ en retranchant les plus grands logarithmes de la table IV contenus 
dans les restes, puis on cherche le produit des nombres correspondant aux 
logarithmes soustraits. 

Il n'est pas nécessaire de continuer le calcul jusqu'à ce que tous 
les chiffres significatifs soient supprimés. Pour obtenir le chiffre exact 
à (2 71 — 1 ) chiffres, on peut cesser la soustraction des logarithmes dès 
qu'on sera arrivé à un reste commençant par n zéros et dont on trouve 
directement le nombre correspondant par simple addition. 

En résumé, si Ion désigne par.^ le nombre cherché, par logN, 
log(i-(-a), log (i + 6). . ., les logarithmes soustraits du logarithme» 
donné et par 9 le reste, de manière que 

logxz=logN + log(i + a) + log(i + 6)+ ... +0 
le nombre cherché sera a; =N(i+a) (1 +6). . .( 1 +t) 

Dans tous ces calculs on ne tient compte que de la mantisse; c'est 
seulement à la fin du calcul qu'on met la virgule décimale à la place 
que lui assigne la caractéristique. 

Il ne faut pas oublier que pour calculer un nombre avec n chiffres 
exacts, il faut connaître son logarithme avec {n + i) décimales. 

Ex. 14. Calculer avec 1 i décimales le nombre dont le logarithme 
est = 0,497 1 4 . 9872 694. 

Le plus grand logarithme de la table V, contenu dans le logarithme 
donné, est celui de 3i ; on retranche du reste les plus grands loga- 



— 22 — 

rithmes de la table iV jusqu^à ce que le dernier reste contienne au 
moins six zéros consécutifs. 

Ce reste 0,0^86 io83 est le logarithme de 1,0^1982717, et ce 
dernier nombre multiplié par les nombres dont on a soustrait les 
logarithmes donne pour produit : 

,x = 3,ixi,oi X i,o23x i^o^3x i,o*8x 1,0^1982717 
ou j:= 3,i4i59. 265359, exact au dernier chiffre. 
Voici tout le calcul : 

log a:=: 0,497 1 4 . 98726 . 9^ 

49136. 16938 .3ii =log 3i 



578.81788.60 

432.13737.83 


= log 


1,01 


1 46'. 68060.77 
i3o. 09330. 20 


= logi 


,023 


16.58720.57 
i3. 02688.05 


= logi 


,o»3 


3.56o32 .52 






3 .4742 1 .69 


= logi 


,0*8 


8610.83 






1.9802 . 23 
23. o3 




1.91 







1,00000.19827.17 XI, 0^8 
38. 1.59 X 1,0^3 

245. 95 

1 ,ooo38 . 20074 .71 XI ,0^3 
3 1 i46o. 22 

i,oo338.3i534.93r xi,oi 
i 3. 383 1 5. 35 

1,01341.69850.28 x3i 
3o 4o25o.955o8.4 
x=: 3, 14159.2 65359 (valeur de tt) 



— 23 — 




Ex. 15. Combien produit un franc placé pendant 5oo ans, Tin- 


térét étant à 6 o/o payable par semestre.^ 




f=o,o3 r=:i,o3 n=iooo 




log r*= i2,8372a./i7o5i .72205. 1 7 




83250.89127.06236.32 . • 


. log68 


^71. 57924. 65968. 85 




432 .13737 .826^2 .57 


1,01 


39.M186.83326.28 




39.06892 .49910. i3 


1,0*9 


37294.33416. i5 




34743.41957.88 


1,0^8 


256o. 91458.27 




2171.47186.66 


1,0^5 


379.44271 .61 




347.43557.16 


1,0^8 


32 .00714.45 




• 73.67272.30 




1634.84 




1 . 1 3 




12 




1,00000.00073.69917 . 39 


X 1,0^8 


858 59 


X 1 ,o®5 


43.68 


X 1,0^8 


4698.96 




1 .00000 . 85873 . 74660 . 62 


X 1 ,0*9 


9 77.28637.19 




1,00090.85951 .03297 .bi 


XI, 01 


i 90859.51032.98 





1,01091 .76810.54330.79 x68 

6,06550.60863.25984.74 
80873.41448.43464.63 

6,87424.02311.69449.37, donc le montant 
de 1 franc est de 6.874240. 23 1 169 francs 44%94. 



— 2(1 — 



NOTE. 



• C'est surtout dans les calculs d'intérêt composé et d'annuités qu*on a besoin de 
logarithmes à plus de dix décimales. 

Lorsqu'on construit des tables d'intérêt composé, pour être sûr de l'exactitude de 
tous les termes de la table, il faut calculer chacun au moyen du terme précédent et 
s'assurer ensuite de l'exactitude de l'ensemble en vérifiant le dernier terme au moyen 
des logarithmes. 

I. Ainsi, pour calculer la table qui donne le montant de 1 franc au bout d'un certain 
nombre d'années, chaque ternie multiplié par la raison r== \-ht, donne le terme suivant; 
le dernier terme doit s'accorder avec la valeur obtenue par les logarithmes. 

Si, par exemple, le taux est 4 o/o et qu'on arrête la table à loo ans, on doit obtenir 
au dernier terme 7^ = 5o,5o4948 . 1 84269 . 4i st6. 

II. La table qui donne le montant de i franc par an, se calcule directement en multi- 
pliant chaque terme par la raison et en ajoutant l'unité au produit; si x est un terme 
quelconque de la série et y le terme suivant, on a toujours j =rjj4- 1 . 

Lorsqu'on est arrivé à la fin de la table, on vérifie le dernier terme au moyen dés 
logarithmes. 

La table 1 peut également servir, pour contrôler les termes inlermédiaires de la 
table II; par exemple, si le taux est 4 0/0, on a 

1 = 1, 
o4 



2 = a,o4 

816 



3 = 3,1216 

134864 

4 = 4,246464 

169858.56 

5 = 5,4i6322.56 

V-i 



Or on a trouvé ci-dessus que r° = 5o,5o4948. 18426.94126; donc puisque S= 

le 100" terme doit être 12^, 623704.606735. (Theory of compoand interest and an- 
nuities with locjarithnic tables, by Fedor Thoman. London, Lockwood and C°, page 110.) 
III. Pour construire la table qui donne la valeur de tfrunc payable au bout d'un certain 
nombre d'années, on commencera par le dernier terme calculé directement à l'aide des 
logarithmes, puis on le multipliera successivement par la raison en remontant jusqu'au 
premier terme qui, multiplié par la raison, doit donner pour produit l'unité. 



_ 25 — 

' Far exemple, sit=4 o/o, on a au loo* terme (page 28), 

1 00 -- 0,0 1 98000 . 4o 1 1 3g . ao 
7920.016045.57 

99 — 0,0205920.417184.77 
«236.816687.39 

98 — 0,0214157.233872.16 

8566.289354.89 

97—0,0222723.523227.05 
8908.940929.08 

96 — 0,023 1 632 . 464i 56 . 1 3 

IV. Pour construire la table qui donne la vafeur actuelle de Vannailéde i franc par an, 
on commencera par le dernier terme calculé directement au moyen des logarithmes, 
puis on multipliera chaque terme par la raison en retranchant chaque fois Tunité du 
produit. 

Soit i?'un terme quelconque de la série et y le terme suivant ; on a toujours y = ro? — 1 . 
• Le dernier terme multiplié par la raison doit donner pour produit Tunité. On peut 
encore se servir de la table II pour vérifier les termes intermédiaires. 
Par exemple , si l =4 0/0 

100-24,504998.997151.99 
980199.959886.08 

99 — 24»485 198. 957038. 07 

979^07-958281 .52 
98 — 24,464606 . 9 1 53 1 9 . 59 

978584.276612.78 
57 — 24,443191 . 191932.37 

977737-6^7677-39 
96 — 34,420918.839609.66 

V. Pour construire la table de V annuité qui amortit un capital en un certain nombre (Tan- 
nées, on commencera par ]a première année et Ton déduira chaque terme du terme 
précédent diaprés la formule qui suit. 

Chaque terme doit être le réciproque du terme correspondant de la table IV; ou 
encore il doit être égal au taux plus le réciproque du terme correspondant de la table II. 

Si Ton désigne par x famortissement d*une année quelconque, et par y celui de 
Tannée suivante , 

t t 



on a 0! = 



r 



' et y = -îfnpï 



donc j=- 



r-hx 

Cette dernière formule est Irès-facile à appliquer; par exemple, si f=4 0/0 et /i = 5o, 
on a 

a:=o,oo655o2o , doncy = — 7^^^ — =^ o,oo625885 



Ex. 16. Étant donné lo«;a;=5, 99999.92254.881813, chercher 
]e nombre x. Lorsque la mantisse d un logarithme donné commence 
par plusieurs chiffres 9, on abrège considérablement le calcul, en 
ajoutant à ce logarithme le plus petit logarithme de la table II qui 
excède le complément de la mantisse. 

En effet, ajouter le complément d'un logarithme revient à retran- 
cher le logarithme lui-même; par conséquent Taddition en question 
n'est autre chose que la soustraction du plus grand logarithme tabulaire. 
Ainsi , dans cet exemple , le complément de la mantisse est 0,0^7 7..., 
on prendra table II, le plus petit logarithme qui contienne ce com- 
plément : ce sera 0,0*^86. . . = comp. log 0,9999998. 

En ajoutant ce dernier complément au logaritl)me donné, on ob- 
tient pour somme o,o''94. ., de manière qu'au moyen d'une seule 
addition on a supprimé les sept premiers chiffres de la mantisse. 
logx = , 99999.92254-881813 

8685.898324 = comp. log 1,0^2 
o. G*' 940.780137 

868.588877 •= log 1,0^2 

Q,0^ 72 . 191260 
165.786127 . 
437491 
2763 

i38^ 

1,0^ 166.226519 Xl,0^2 ' 

2 33_ 

1,00000.02166.226552 XI, 0^2 

2 4332 

Xz=i 99999,82166.22222 

Ex. 17. On place chaque année dix millions de francs; combien 
produironl-ils au bout de 99 ans à 5 0/0.^ 

S=2(^-,) 
/ = o,o5 r=i,o5 ^ = 99 
a= 10000000 - = 200 000000 



— 27 — 



log r= 0,021 18.92990.699381 (tab. VII) 
21.18929.906994 



ic log I^ = 


2,09774.06079.2387 






7918. 12460.4762 


= log 1 2 




1855.93618.7625 






1703.33392 .9878 


i,o4 




i52 .60225.7747 






i3o. 09330.2042 


1,0^3 




22 .50895.5705 






21 .70929.7223 


1,0^5 




79965.8483 






43429.2310 


i,o*i 




36536.6172 






34743.4196 


1,0^8 




1793.1976 






1737.1776 


i,o«4 



56. 0200 

128.94477 
46o5 



1,00000.00128.9908 xi,o"4x i,o*8x 1,0*1 
1.84 1 

33o 
84i3 



^ 1 .84129.8652 xi,o^5 
5 92.0649 

5i .8422 1 .9301 XI, 0^3 
3 15552.6658 



351.99774.5959 
4 14.07990.9838 

1,04366.07765.5797 X12 
20873. 2 i553. 1 159 



r"= 125,239293. 186956 
montant de 1 franc au bout de 99 ans; de là on déduit 
? (r"— i) = 24847.858637 francs 39% produit du placement an- 
nuel de dix millions de francs pendant 99 ans. 



— 28 — 
Ex. 1 8 . Calculer la valeur actuelle à k o/o de i franc payable au bout de 
loo ans et la valeur d'une rente de i franc payable pendant loo ans. 

^zzo,o4 r=i,o4 />=7;^ 0=25(i-/)) 
log r^«>= 1 ,70333 . 39298 . 78035 ' (tab. VU) 
logp=8, 29666. 60701 .21965 

27875.36009.52829 =log 19 
1791 . 24691 .69136 
1 703 . 33392 . 98780 1 ,o4 
87 .91298.70356 
86.77215.31227 1,0^2 
1 . 14083.39129 
86858.02780 1,0*2 
27225.36349 
26057.59074 1,0^6 
1167.77275 
868.58888 r,o^2 
299. 18387 
260.57668 i,o''6 

38.60719 



87.498234 

i.38i55i 

16348 

207 



1,00000.00088.89634 X 1, 0^6 X 1,0^2 XI, 0^6 X 1,0*2 

2.626 1 

i4 

i6i3 

1 .25378 



1, 00002 .62690. i664o X 1,0^2 

2 525.38o33 

1,00202 .63215.54673 X i,o4 
4 8.10528.62187 



1,04210.73744-16860 xi9 
93789.66369. 75174 

^ = 0,01980.00401 • 13920.34 Valeur actuelle de 1 franc. 

—p=: 0,980 19. 99598. 86079 . 66 Escompte à déduire 

9 = 24,50499.8997 1 .51991 Valeur de 1 franc par an. 



— 29 — 

9 

Ex. 19. Déterminer 9^, plus grand nombre que Ton puisse expri- 
mer avec trois chiffres. Soit ^ 

donc logOJ^g.g.cj.g.g.Q.g.Q.g log 9 

et puisque log 9:= 0,96424. 25094.39324.87459.00658.07 
loga:=369 693099, 63167 .03687 .43543. 096 
En cherchant les 16 premiers chiffres du nombre, on a: 
,63167.03687.435431 
62324.92903.979006=1 log 42 
* 832. 10683.466426 
432 . 13737 .826426 i,oi 
399 . 96945 . 63oooo 
389.11662.369106 1,0^9 
10.86283.260896 

8.68602.116490 1,0^2 

2 . 16781 . i444o6 
1.73714.318498 1,0^4 

43066.826907 

39086.327483 1,0^9 

3980.498424 
3908.648678 1,0^9 

71.849846 

i63.48354i6 

1 .9341716 

226663 

'o59 

1,00000. 001 66. 44o384 X i,o^9X iiO^g 

99 1^9 
82489 



1, 00000*. 99166.623022 X 1,0^4 
4 3.966621 

1,00004.99169.489643 X 1,0^2 

2 99.833898 

1,00024.99269.323541 X 1,0^9 
9 .22493.423912 

1,00926.2 1762 . 747453 Xl,Ol 

1009.26217 .627476 
1,01934.46980.374928 x42 
20 38689.39607.49866 

21,40623.86687.87349 
x= 42 81247 . 73176 747 .. . 



— 30 — 

Par conséquent, le nombre x qui est un nombre entier, s'écrit avec 
369 698100 chiffres dont les i5 premiers sont lxi%i2[x']^Z\^b']^']y 
et si ce nombre était écrit sur une seule ligne à 4 chiffres par cen- 
timètre, sa longueur serait de plus de 924 kilomètres. 

Ex. 20. Déterminer le nombre dont le logarithme est 
9,99999 . 82629 . 56 1 39 . 57 1 78 . 4Ô06 1 40 
• Le complément du logarithme donné étant 0,0^173704.., on 
ajoutera à ce logarithme le plus petit logarithme .de la table H qui 
contienne ce complément; 

C'est 0,0^178718 . = comp. log 1,0^4. 

9,99999.82629 .66189 .67 178.4506145 
1787 1 .8i4oi .97812 .7518861 
1.87541.54986.2019606 
1,80288.84455.1482297 1 ,o'^3 
7268.20581 .0687209 
4342.9448 1 .901 o8o4 1 ,o^®i 
2910.26049.1676406 
2606.76689.141 1694 1,0^*6 
804.49860.0 1 647 1 1 
804.00618.7882170 1,0*^7 



48746 


.2882641 


1.10624 


08446.871 


1708. 


91296.882 


i4. 


27602.768 




191 M. 456 


♦ 


67.666 




9^ 



1 ,00000.00000.0000 1 .12242 .4<i5 1 5.98 

8.167 ^ 

42.07 

670.1 1 

60108.87 

1,00000.00008.16701 .12242.97881.54 X 1,0^4 
4 1.26680.44897.19 

0^=0,99999.60003. 16699.85662.52434.86 



— 31 — 

Ce nombre est exact à moins d'une unité du dernier ordre. 

On peut remarquer que c'est précisément le nombre dont on a 
calculé le logarithme, exemple 13, et que les deux opérations, en 
donnant des résultats entièrement concordants, se vérifient mutuel- 
lement. 



IV 

SOMMATION DES LOGARITHMES. 



Les formules qui suivent, servent à calculer très-rapidement la 
somme d'un grand nombre de logarithmes. 

Les Nombres de Bemoulli, qui entrent comme facteurs dans ces 
formules, jouent conjointenient avec les deux nombres analytiques 
e base des logarithmes naturels, et 
TT rapport de la circonférence au diaraèlre, 
un rôle très-important dans toute l'analyse. 

En effet, ils se présentent dans un grand nombre de développe- 
ments en séries, dans les formules logarithmiques et trigonométri- 
ques, dans la sommation des séries algébriques ou transcendantes, 
dans le développement des intégrales définies et des intégrales aux 
diflférences finies. 

Ils sont les coefficients de x dans les sommes des puissances paires 
des nombres naturels, depuis i jusqu'à x; par exemple : 

,+2+3 +...+x=-+-+^- g +^ 

,+2«+3« + ...+x'' = î^ + ^' + ^-4V^-f '■ 

926 169 00 

En désignant par :3l, 0, C 19, les nombres de Bcrnoulli, 

par n, n, n. . . les coefficients du binôme de Newton, de manière que 



^i+ay*=i + 7ia + /îa^ + «a^ + 



— 33 — 
et en posant successivement 71=2, 4» 6, 8 . . ., on trouve facilement 
la valeur numérique des nombres de Bemoulli , au moyen de Téquation 



n— 1 



=an-i jP n+^C n^lîD " + ■ 



Ces nombres sont tous rationnels, positifs et fractionnaires; voici 
ies douze premiers : 

a=8 »=fo •=! *=^ 

( Comptfs rendus de T Académie des sciences, i à mai 1 860. ) 



— 34 — 

SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES EN PROGRESSION ARITHMETIQUE. 
{Comptes rendus Je l'Académie des sciences, 9 novembre i863 ^) 



S=loga-f-log(a4-w)+log(a+ 2 w) + . . . + log{a+n(»)) 
Soit b = [a + nejô); et soit k le module des logarithmes, on aura: 

S=^(61og6-«log»)-»i + Mog«6-2^(l-i)+^(i,-;,) 



5.6 



(?-f) 



+• 



ouS=^log6-Moga-n*+^loga6-^^ + g^(^-^,) 

Ex. 21. Déterminer la somme des looi logarithmes 

log 17000+log 1 7003 +log 17006 + . . . + log 20000 
0=17000 «log 6 = 28673, 53330.442655 

6 = 20000 — |-loga = 23972, 54388.781022 

nw=: 3ooo — wA = — 434, 29448.190325 

0=' 3 +-loga6= 4» 26573.945852 

71= 1000 ~_5^_= —95800 

1 360000 

Su: 4270, 96067.321360 

Ex. 22. Déterminer la somme des 1101 logarithmes 
log 17000+log 17002 — +log 17005 — + • • • +log 20000 

3i54o,88663. 486920 
— 26369,79827.659124 
n=iioo — 477172393.009358 

+ 4i26573. 945852 

-87091 

8 = 4697,63016.677199 

* Le cadre restreint de cet ouvrage ne m'a pas permis de donner ici le développement des for- 
mules générales de la sommation des séries, mais j'ai toujours indiqué les comptes rendus de 
r Académie d.ea s.ciencejs où l'on peut trouver ces développements. 



71W = 


3ooo 


eiû = 


3o 
11 



_ 35 — 

(' 

LOGARITHMES DES FACTORIELLES , OU SOMMES DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS 

DE 1 Xa?. 

S==l0g(l . 2 . 3 . 4. • . 'SC) 



5.6a;' 



ou S=(x+l) log^ + Mog2W-ix+A__L,^._^^ 

Ex, 23. Calculer la somme des logarithmes de tous les nombres 
naturels depuis 1 à 679. 

j[:z=579 S79'51og579= 1600,9722277 

logx= 2,76267 .85637 ~^^S ^^ ^-^ 0,3990899 (tab. Vil) 

— kx = — 261,4569050 

+ — = +625 

12a; . I 

log(i .2.3.4. . .579) = 1349,9 148741 
' Ex. 24. Calculer la somme de tous les logarithmes de 1 à 1 00000. 
œ= 100000 
logx= 5 

5oooo2,5 

0,39908.99341 . 79057 .52478. 26035.92 

— 43429,44819.03251 .82765. 1 1289. 18916.61 

+ 3619.12068.25270.98563.76 

— 120.63735.61 

S= 456673,46089. 99709.08360. 66339.40947 .46 

Ex. 25. Calculer avec 26 chiffres exacts log ( 1 . 2 . 3 . • . 1 00) 
x= 100 
logj;= 2 

201,39908.99341 .79067 .62478. 2 6o36 .92 

— 43,42944-81 903.26182 .7661 1 . 2891 8.92 

+36. 19120.68262 . 70986.63769.41 

— 12. 06373. 66084. 2366 1.88 

+34.46781.60240.68 

— 268. 60862 .02 

+ 3666.68 

-83 

S= 167,97000.36647 .16788.37391 .49248.04 (tab. VI) 

3. 



._ 36 — 

III ^' 

SOMME DES LOGARITHMES ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATI-FS. 
LE DERNIER TERME ETANT POSITIF. 

(Comptes rendus de V Académie des sciences , 35 mars 1867.) 



S = loga— log (a + 6i))-l-log(a+2w) — . • . 4- log (a + /?&)), 

S=iloga6-^a*»(i-l)^4^«W(J.-^) 

-tϫ*"'(?-f)+--- 

Ex. 26. Calculer v = "''°!-"'--;f,"'' 
a =2^6 Ioga = 2,39035 1 
6 = 44A -loga6=2,5i9i59o 

w= 9 log6 = 2,6/i7383o —^^= - 177^^ 

+ 7 



logj =2, 6173883 
y = 329^1^58 

Ex. 27. S = log 1 7000 — log 1 7003 + log 1 7006 — . . . + log 20000 

(Voir exemple 21.) 
a= 17000 

6 = 20000 4126673.94585.2 1 127.66 

(iô= 3 — 28740.07600.83 

+ 38.37 

8 = 4,26673.66845.13666.10 

Ex. 28. log 1 7000 — logi 7002 — + log 17006 ... + log 20000 

w = — 4126673.94686.21 127.66 



1 1 



261 27.34182 .67 
+ 28.83 



8=4.26673.68467.86973.82 



37 — 



IV 1'' 



SOJ^ME DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS. 

LE DERNIER TERME ÉTANT POSITIF. 



S = log I — log2+log3— . . . +loga; 

S 11 i|7r,ft k , k ^ik , 
= -loga; losr- + 7 — ■— r-sH s —7 + ' • • 

2 ® 2 ^ 2 ^X 2kX 20X \\2X' 

Ex. 29. Calculer y = "f t« '^^«'^^^ 

^ = 999 
logx= 2,99966 5488(tab. II) ^loga;=i, 4997827 

-^logf = -o,o98o599(lab.VII) 

logy= i, ^Ol83l5 
y=:25, 22602 

Ex. 30. S=:log 1 —log 2 +log3— . . . +log3ooi 

a; = 3poi 
loga;=: 3,47726.59964.24852 .62460 ,2942 1 .60 
-logx= 1,73863.29977. 12426.31 
— 9806.99386.16076.33 
+ 3.61791 .47109.67 
— 669.64 



S= 1,64060.92383.43790.01 



— 38 — 

ù 

» 
SOMME DES LOGARITHMES ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS. 
LE DERNIER TERME ETANT NEGATIF. . 

[Comptes rendus de V Académie des sciences, 35 mars 1867.] 



S=:Ioga— log(a + a))+log(a+2Ci)) — • . . — log(a + n6;), 
S=5%ï-^2U« (l+J)+4^*to.(J,+-' ) 

-xr«*"'(?+p)+--- 
ou s=ii<-^(i+|)+^(i.+^)-^'(7+;-)+-- 

F oi P 1 1 386i «3871 -3881 •• -6001 

t-x. 01. i.aicuier y — ^^^^ ^^^^ ^^^^ ^^^^ 

a = 386i log a = 3,0866998 -log| = 9,90^0672 
6 = 6006 log6 = 3, 7786853 — 23io 



0) = 



logj=:9, 9038262 

j'zz: 0,8013573 

Ex. 32. Calculer y = '8'5..8.9---4993 
•^ 1822* i8o6- -wôooo 

a= i8i5 
6 = 5ooo 

œ= 7 ~log| = 9,77995. 33125.18056.25939.77 

— 57 . 07443 . o466 1 . 00904 . 79 
1=1:0,363 -f 10.87749-81921 . 12 

-18.64618.70 

+ 83.74 



3.11^ 
■ 10' 



logj = 9,77938. 26693 .01 126.4242 1 .09 
j=: 0,60 170. 35437 .67086.00395.39 



— 30 — 

VI '^ 

SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS ALTERNATIVEMENT POSITIFS ET NEGATIFS. 

LE DERNIER TERME ETANT NÉGATIF. 



S = log 1 — log 2 +log 3 — . • . — log X 

~S = -log^+-log-+-^--^:^^+-3:^ .^-. . 
-S=ilogx+iiog^+ A-_ * +A, 

2 O '2 O 2 ' 407 24^^ 20X 

Ex. 33. On demande y= ^\ '; "997-999 

»/ 2-4*0' • «ggc' 1000 

X=1000 -logX=:i,5 

logx= 3 ^log^=o,098o599 (tab. VII) 

1086 



S = - 1,5981685 
logj = 8,iioi83i5 

)':=:0,02522502 

Ainsi , pour évaluer y avec 8 chiffres exacts, il n'a fallu calculer qu'un 
seul terme. 

Ou voit que la mantisse du logarithme est égale à celle derexemple29. 

Ex. 34. S = log 1— log2 +log3— . . .— logSooo 
ilog3ooo= 1,73856.06273.59831 . 22 

-log - =0,09805.99385.15076.33 

— = 3.61912.06825.27 

— 670.21 



24a;" 



— S= 1.83665.67570.81062 .61 
Dans l'exemple 30, on a trouvé pour somme des 3ooi logarithmes 
positifs et négatifs S=:+ 1,6^061 ; en retranchant de cette somme la 
valeur qu'on vient d'obtenir S=— 1 ,83665..., on trouve pour différence 

3,^7726.59954*24852 .62 
mais c'est le logarithme de 3ooi exact au dernier chiffre; par consé- 
quent les deux résultats sont vérifiés l'un par l'autre. 



— 40 — 

AD. II. 

SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES PAIRS OU DES NOMBRES IMPAIRS 
COMPRIS ENTRE 1 ET 207. 



De la valeur de S = iog ( i . 2 . 3 . . .a?), formule II, on déduit direc- 
lemenl la somme des logarithmes des nombres pairs: log (2.4.6...2X) 
=:S + xlog2; puis en retranchant cette dernière valeur de celle de 
log (1.2.3... 2J?), il reste la valeur de log [1.3.5.7... {^^~ 0]» 
somme des log. des now6re5 impairs. 

1. SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES PAIRS DE 1 A 2J? 

Ex. 35. Calculer à 20 décimales la. somme des logarithmes des 
nombres pairs de 1 à 1 0000. 
2a:= 10000 

20002, 

log2a:= 4 0,24867.49363.47066.9271 7. ÔÔZZ-l.TT, t. VII 

— 2 171,47240.95162.59138.25564-46 

+ 72382.41 365. o54' 9-7 » 

~9.65098.85 

+ 1 

P= 17230,77617.26583.29284-07473.97 

2. ' — SOMME DES LOGARITHMES DES NOMBRES IMPAIRS DE 1 À 20?. 

Ex. 36. Calculer à 20 décimales la somme des logarithmes des 
nombres impairs de i à 10000. 
20000, 

o,i5o5i .49978. 3 1990. 59760. 69 = i log 2, lab. VU. 

— 2 1 71,47240 .95162.59138. 25564- 46 
— 39191 .20682 . 52709. 86 

+ 8.44461.49 
— 1 



I = 17828,67810. 18624.52 178.25947 .85 

En additionnant les deux sommes que nous venons d'obtenir , on aura 
P + Izi 35659,45427. 45207. 8 1462. 3342 18 
ce qui est la somme des logarithmes de tous les nombres naturels 
depuis 1 jusqu'à 10000. 



TABLES. 



— 42 — 
I 



RECHERCHE DU LOGARITHME. 

RÉCIPISOQDES ET LOGARITHUES DES RECIPROQUES DES NOUBHES NATURELS DE I À I I O. 



a 


i 




a 


11 


9091 


12 


8333 


13 


7692 


14 


7143 


15 


6667 


16 


625 


17 


5882 


18 


'5556 


19 


5263 


20 


5 


21 


4762 


22 


4545 


23 


4348 


24 


4167 


25 


4 


26 


3846 


27 


3704 


28 


3571 


29 


3448 


30 


3333 



Log 



a) 



95860 
92081 
88605 
85387 
82390 
79588 
76955 
74472 
72124 
69897 



.73148. 
.87539, 
.66476. 
.19643. 
.87409. 
.00173. 
.1078'6. 
.74948. 
.63990. 
.00043. 



67778, 
65757 
63827 
61978. 
60205, 
58502. 
56863. 
55284. 
53760. 
52287. 



07052 
73191. 
21639 
87582 , 
99913, 
66520, 
62358. 
19686. 
20021. 
87452. 



41774. 
52375. 
93163, 
21761. 
44318. 
44075. 
21726. 
96693. 
47171. 
36018. 



66080 
77793, 
82407 
88393 
27962 
29182 
41012 
57780, 
01043. 
80337. 



95924. 
17227. 
23079. 
97407 . 
.75791. 
21914. 
07145. 
93019. 
03846. 
80478. 



98000.29 
74943.07 
34948.42 
40448.47 
87109.91 
50444.21 
98301.06 
62052.99 
36665.24 
62611.05 



73199 
76403 
12113 
97706 
39042 
03557 
68811 
77886 
91266 
56270 



.27558.38 
.60611.34 
.22228.88 
.37554.13 
.74777.89 
.97559.47 
.49162.90 
.03059.52 
.71532.37 
.49720.97 



a 


1 
a 


31 


3226 


32 


3125 


33 


3030 


34 


2941 


35 


2857 


36 


2778 


37 


2703 


38 


2632 


39 


2564 


40 


25 


41 


2439 


42 


2381 


43 


2326 


44 


2273 


45 


2222 


46 


2174 


47 


2128 


48 


2083 


49 


2041 


50 


2 



■^U) 



50863, 
49485 
48148. 
46852. 
45593. 
44369. 
43179. 
42021. 
40893. 
39794, 



83061 
00216 
60601 
10829, 
19556, 
74992. 
82759, 
64033. 
53929, 
00086, 



38721 
37675 
36653 
35654 
34678 
33724 
32790 
31875 
30980 
30102 



.61432. 
.07096. 
.15444. 
.73235. 
.74862. 
.21683. 
.21420, 
.87626. 
.39199, 
.99956, 



65727 
80094 
22112 
57744. 
49724, 
32712. 
33005 
83189. 
73500. 
72037. 



80264. 
02099. 
20413. 
13812, 
24656. 
18425, 
64282, 
24412. 
71486. 
63981. 



32033 
02393 
52195 
87624 
36450 
73498 
00319 
84324 
79349 
60957 



50549 
53677 
47359 
56882 
32062 
92591 
53558 
78185 
33857 
19521 



.32959.00 
.13055.26 
.47721.26 
.60912.11 
.15226.36 
,24664.04 
.15493.10 
,99276.30 
.84669.39 
.25222.11 



.05881.50 
.00169.43 
.49118.47 
.23222.39 
.38630.83 
.84839.93 
.57806.01 
.00165.18 
.55674.83 
.37388.95 



c =2,71828.18284.59045.23536.02874.71 

- =0,36787.94411.71442.32159.55237.71 

Modulefc = log e =0,43429.44819.03251,82765.11289.19 

^ = log. lo =2,30258. 50929. 94045. 68401..79914. 55 

log h =9,63778.43113.00536.78912.29674.99 

log 2k =9,93881.43069.64517.98433.67063.93 



— 43 



I (Suite). 







RECHERCHE DU LOGARITHME. 


a 




RÉCIPROQUES ET LOGARITHMES DES RECIPROQUES DES NOMBRES NATURELS DK 1 À 1 10. 


1 
a 


Log(^^) 


a 


1 
a 


^"^(a-) 


51 


1961 


29242 . 98239 . 02063 . 634 l 6 . 48022 . 02 


81 


1235 


09151.49811.21350.25081.98883.87 


52 


1923 


28399 . 66563 . 65200 . 84036 . 60170 . 53 


82 


1220 


08618.61476.16283.31027.68492.55 


53 


1887 


27572.41303.99210.95436.70077.08 


83 


1205 


08092 . 19076 . 23926 . 096 16 . 72396 . 48 


54 


1852 


26760.62401.77031.49290.11773.96 


84 


1190 


07572.07139.38118.34156.52780.49 


55 


L818 


25963.73105.05756.15446.35389.23 


85 


1176 


07058 . 1 0742 . 85707 . 26667 . 35690 . 00 


56 


1786 


25181.19729.93799.58364.65670.57 


86 


1163 


06550 . 15487 . 56432 . 27838 . 1 1729 . 52 


57 


1754 


24412.51443.27508.60116.86386.21 


87 


1149 


06048.07473.81381.47537.21253.34 


58 


1724 


23657.20064.37062.71745.34143.42 


88 


1136 


0555 1 . 73278 . 4983 1 . 37360 . 85833 . 45 


59 


1695 


22914 . 79883 . 57855 . 80973 . 93436 . 15 


89 


1124 


05060 . 99933 . 55087 .21527. 6^566 . 30 


60 


1667 


22184.87496.16350.36749.12332.02 


90 


1111 


04575 . 74905 . 60675 . 12540 . 99441 . 93 


61 


1639 


21467.01649.89232,96611.42514.86 


91 


1099 


04095 . 86076 . 78906 . 40008 . 1 2785 . 83 


62 


1613 


20760.83105.01746.12511.95570.05 


92 


1087 


0362 1 . 2 1 726 . 54444 . 73070 . 47450 . 98 


63 


1587 


20065 . 94505 . 46418 . 29469 . 77279 . 35 


93 


1075 


03151.70514.46064.88303.82679.97 


64 


1562 


19382.00260.16112.82871.75666.32 


94 


1064 


02687 . 2 1 464 . 0030 1 . 34037 . 204 1 7 . 06 


65 


1538 


1 8708 . 66433 . 57 1 44 . 42600 . 72337. 37 


95 


1053 


02227.63947.11152.23367.74054.19 


66 


1515 


18045.60644.58131 .32674. 10332.31 


96 


1042 


01772 . 87669 . 60431 . 58663 . 62776 . 23 


67 


1493 


17392.51972.99173.56585.08683.71 


97 


1031 


01322.82657.33755.14821.56381.88 


68 


1471 


16749.10872.93763.68103.23523.16 


98 


1020 


00877 . 39243 . 07505 . 14336 . 18285 . 88 


69 


1449 


16115.09092.62744.68383.71949.84 


99 


1010 


00436 . 48054 . 02450 . 08465 . 97442 . 22 


70 


1429 


15490.19599.85743.16928.77837.41 


100 


1 





71 


1408 


14874.16512.80924.71390.71705.05 


101 


9901 


99567.86262.17357.42572.48118.22 


72 


1389 


14266 . 75035 . 68731 . 53976 . 87275 . 09 


102 


9804 


99139.98282.38082.43895.10633.08 


73 


1370 


13667. 71398. 79544. 09892;56131. 00 


103 


9709 


987 1 6 . 27752 . 94827 . 79482 . 89288 . 05 


74 


1351 


13076.82802.69023.80797.78104.16 


104 


9615 


98296.66607.01219.64515.22781.58 


75 


1333 


12403 . 87366 . 08299 . 953 1 3 . 24498 . 86 


105 


9524 


9788 1 .07009 . 3006 1 . 92720 . 64947 . 33 


76 


1316 


11918.64077.19208.64803.61887.35 


106 


9434 


97469.41347.35229.75915.32688.14 


77 


1299 


11350.92748.27518.12853.75837.70 


107 


9346 


97061.62223.14790.35916.54587.61 


78 


1282 


10790.53973.09519.59828.47280.44 


108 


9259 


96657.62445.13050.29768.74385.01 


79 


1266 


10237.29087.09558.57200.51786.14 


109 


9174 


96257 . 35020 . 59376 . 36479 . 94866 . 92 


80 


125 


09691.00130.08056.41435.87833.16 


110 


9091 


95860. 73148. 41 774. 95924. 98060.29 



— U — 



II 



RECHERCHE DU LOGARITHME. Il 


NOMBRE. 


-<^{-^.) 


NOMBRE. 


-'"«(-^O 


1,0 9 


0,0 4095 . 86076 . 78906 . 40008 . 12785 . 83 


I,0»9 


0,0*39086.67926.16131.78020. 18 


8 


362 1 . 2 1 726 . 54444 . 73070 . 47450 . 98 


8 


34743.69752.72355.55615.60 


7 


3151.70514.46064.88303.82679.97 


7 


30400.72013.58722.40196.79 


6 


2687.21464.00301.34037.20417.06 


6 


26057 . 74708 . 75 1 45 . 45678 . 49 


5 


2227.63947.11152.23367.74054.19 


5 


21714.77838.21537.86001.75 


4 


1772.87669.60431.58663.62776.23 


4 


17371.81401.97812.75133.61 


3 


1322.82657.33755.14821.56381.88 


3 


13028.85400.03883.27067.18 


2 


0,0* 877 . 39243 . 07505 . 14336 . 18285 . 88 


2 


0,0* 8685 . 89832 . 39662 . 5582 1 . 62 


1 


436 . 48054 . 02450 . 08465 . 97442 . 22 


1 


4342 . 94699 . 05063 . 75442 . 1 3 


1,0«9 


0,0* 392 . 63455 . 14724 . 67163 . 55656 .21 


1,0«9 


0,0» 3908.65209.60229.73493.33 


8 


348.83278.45821.34426.46014.26 


8 


3474 . 35724 . 49690 . 97907 . 98 


7 


305.07515.04618.82409.68314.89 


7 


3040.06243.73447.40000.14 


6 


261.36156.02686.68798.12154.12 


6 


2605.76767.31498.91083.93 


5 


• 217.69192.54274.54511.37171.10 


5 


2171.47295.23845.42473.42 


4 


174.06615-76301.26844.47339.55 


4 


1737.1 7827 . 50486 . 85482 . 72 


3 


130.48416.88344.28011.86282.97 


3 


1302.88364.11423.11425.93 


2 


0,0^ 86 . 94587 . 12628 . 89062 . 03560 . 69 


2 


0,0' 868.58905.06654.11617.14 


1 


43.45117.74017.69130.64656.01 


1 


434.29450.36179.77370.46 


1.0»9 


0,0' 39.10410.28582.94304.45669.94 


1,0'9 


0,0' 390.86505.13018.54217.30 


8 


34.75746.33920.90231.67184.25 


8 


347 . 43559 . 94200 . 25624 . 22 


7 


30.41125.89160.76147.34971.46 


7 


304.00614.79724.91582.53 


6 


26 . 06548 . 93431 . 97427 . 76940 . 46 





260 . 57669 . 69592 . 52083 . 54 


5 


21.72015.45864.25579.96912.24 


5 


217.14724.63803.07118.57 


4 


17.37525.45587.58231.28918.96 


4 


173.71779.62356.56678.94 


3 


13.03078.91732.19118.92026.02 


3 


1 30 . 28834 . 65253 . 00755 . 95 


2 


0,0* 8 . 68675 . 83428 . 58079 . 45676 . 92 


2 


0,0» 86 . 85889 . 72492 . 39340 . 92 


1 


4.34316.19807.51038.45560.44 


1 


43.42944.84074.72425.16 


1,0*9 


0,0* 3 . 90882 . 62369 . 48505 . 57891 . 65 


J,0«9 


0,0» 39.08650.35471.81930.71 


8 


3 . 47449 . 48368 . 72627 . 56562 .27 


8 


34.74355.86912.34381.16 


7 


3 . 04016 . 77804 . 36523 . 36654 . 48 


7 


30.40061.38396.29776.50 


6 


2. 60584. 50675. 53314; 53910. 58 


6 


26.05766.89923.68116.71 


5 


2.17152.66981.36125.24722.49 


5 


21.71472.41494.49401.80 


4 


1 .73721 .26720.98082.26121 .40 


4 


17.37177.93108.73631.75 


3 


1.30290.29893.52314.95767.29 


3 


1 3 . 02883 . 44766 . 40806 . 55 


2 


0,0* 86859.76498.11955.31938.54 


2 


0,0» 8 . 68588 . 96467 . 50926 . 20 


1 


43429.66533.90137.93521.49 


' 


4.34294.48212.03990.69 



— Ii5 



II (Suite). 





RECHERCHE DU LOGARITHME. 




NOMBRE. 


-H{>-^.) 


NOMBRE. 


-H(.~.) 




1,0» 9 


0.0» 3 . 90865 . 03388 . 881 59 . 1 


1,0'«9 


o;0'«390,86503. 37131. 03 




8 


3.47435.58566.15756.96 


8 


347.43558.55227.41 




7 


3.04006.13743.86784.27 


7 


304.00613.73323.83 




6 


2.60576.68922.01241.03 


6 


260:57668.91420.29 




5 


2.17147.24100.59127.24 


5 


217.14724.09516.80 




4 


1.73717.79279.60442.90 


4 


173.71779.27613.35 




3 


1.30288.34459.05188.00 


3 


130.28834.45709.95 




2 


0,0^« 86858 . 89638 . 93362 . 55 


2 


0,0'3 86.85889.63806.59 




1 


43429.44819.24966.55 


1 


43.42944.81903.27 




1,0'»9 


0,0»» 39086.50337.30515.57 


1,0»^9 


0,0'3 39.08650.33712.94 




8 


34743.55855.36498.89 


8 


34.74355.85522.62 




7 


30400.61373.42916.49 


7 


30.40061.37332.29 




6 


26057.66891.49768.40 


6 


26,05766.89141.96 




5 


21714.72409.57054.59 


5 


21.71472.40951.63 




4 


. 17371.77927.64775.09 


4 


17.37177.92761^.30 




3 


13028.83445.72929.87 


3 


13.02883.44570.98 




2 


0.0'» 8685.88963.81518.95 


2 


0,0»* 8.68588.96380.65 




1 


■ 4342.94481.90542.33 


l 


4.34294.48190.33 




J,0"5 


0,0" 3908.65033.71468.55 








8 


3474.35585.52399.12 








7 


3040.06137.33334.03 








6 


2605.76689.14273.28 








5 


2171.47240.95216.88 








4 


1737.17792.76164.82 








3 


1302.88344.57117.10 








2 


0,0»^ 868.58896.38073.72 










434.29448.19034.69 




■ 



li6 



m 





RECHERCHE DES LOGARITHMES ET DES NOMRRES. 




AECIIEnCHE DU LOGARITHME. 




RECHERCHE DU LOGARITHME. 




Log(i+Ô) = 


he 


6 


Log(i ■ 


^ô) = 


kS 


e 


Kfl 


6 


Ko 


KO 


e 


KO 


11 


4.77723.93009.36 


36 


15,63460.13485.17 


61 


26,49196.33960.98 


86 


37.34932.54436.80 


12 


5,21153.37828.39 


37 


16,06889.58304.20 


62 


26,92625.78780.02 


87 


37,78361.99255.83 


13 


5,64582.82647.42 


38 


16,50319.03123.24 


63 


27.36055.23599.05 


88 


38,21791.44074.86 


14 


6,08012.27466.46 


39 


16,93748.47942.27 


64 


27,79484.68418.08 


89 


38.65220.88893.89 


15 


6,51441.72285.49 


40 


17.37177.92761.30 


65 


28.22914.13237.11 


90 


39,08650.33712.93 


16 


6,94871.17104.52 


41 


17,80607.37580.33 


66 


28,66343.58056.15 


91 


39,52079.78531.90 


17 


7,38300.61923.55 


42 


18,24036.82399.37 


67 


29,09773.02875.18 


92 


39,95509.23350.99 


18 


7,81730.06742.59 


43 


18,67466.27218.40 


68 


29,53202.47694.21 


93 


40,38938.08170.02 


19 


8,25159.51561,62 


44 


19,10895.72037.43 


69 


29,96631.92513.24 


94 


40,82368.12989.06 


20 


8,68588.96380.65 


45 


19,54325.16850.46 


70 


30,40061.37332.28 


95 


41,25797.57808.09 


21 


9,12018.41199.68 


46 


19,97754.61675.50 


71 


30,83490.82151.31 


96 


41,09227.02027.12 


22 


9,55447.86018.72 


47 


20,41184.06494.53 


72 


31,26920.26970.34 


97 


42,12656.47446.15 


23 


9,98877.30837.75 


48 


20,84613.51313.56 


73 


31,70349.71789.37 


98 


42,56085.92265.19 


24 


10,42306.75656.78 


49 


21,28042.96132.59 


74 


32.13779.16608.41 


99 


42,99515.37084.22 


25 


10,85736.20475.81 


50 


21,71472.40951.63 


75 


32,57208.61427.44 


100 


43,42944.81903.25 


26 


11,29165.65294.85 


51 


22,14901.85770.06 


76 


33.00638.06246.47 


101 


43.86374.26722.28 


27 


11,72595.10113.88 


52 


22,58331.30589.69 


77 


33,44067.51065.50 


102 


44,29803.71541.32 


28 


12,16024.54932.91 


53 


23,01760.75408.72 


78 


33,87496.95884.54 


103 


44,73233.16360.35 


29 


12,59453.99751.94 


54 


23,/i5190.20227.76 


79 


34,30926.40703.57 


104 


45,16662.61179.38 


30 


13,02883.44570.98 


55 


23.88619.65046.79 


80 


34.74355.85522.00 


105 


45,60092.05998.41 


31 


13,46312.89390.01 


56 


24,32049.09865.82 


81 


35,17785.30341.63 


106 


46,03521.50817.45 


32 


13,89742.34209.04 


57 


24,75478.54684.85 


82 


35.61214.75160.67 


107 


40.46950.95636.48 


33 


14,33171.79028.07 


58 


25,18907.99503.89 


83 


36,04644.19979.70 


108 


46,90380.40455.51 


34 


14,76601.23847.11 


59 


25,62337.44322.92 


84 


36,48073.64798.73 


109 


47,33809.85274.54 


35 


15,20030.68666-14 


60 


26,05766.89141.95 


85 


36,91503.09617.76 


lia 


47.77239.30093.58 



47 — 



III (Suite) 





RECHERCHE DES LOGARITHMES ET DES NOMBRES. 






REGBERCHE DU NOMBRE. 




RECHERCOE DU NOMBRE. 1 


e 


Loga: = ô 


X 


— ( 


e 


Log X = d 


jr = 


■■*i 


B 
k 


e 


6 
k 


e 

k 


e 


e 
k 


II 


25,32843.60229.35 


36 


82,89306.33477.80 


61 


140,45769,06726.37 


86 


198,02231.79974.88 


12 


27,63102.11159.29 


37 


85,19564.84407.80 


62 


142,76027.57656.31 


87 


200.32490.30904.82 


13 


29,93360.62089.23 


38 


87,49823.35337.74 


63 


145,06286.08586.25 


88 


202.62748.81834.76 


14 


32,23619.13019.17 


39 


89,80081.86267.68 


64 


147,36544.59516.19 


89 


204.93007.32764.70 


15 


34,53877.63949.11 


40 


92.10340.37197.62 


65 


149,66803.10446.13 


90 


207,23265.83694.64 


16 


36.84136.14879.05 


41 


94,40598.88127.56 


66 


151.97061.61376.07 


91 


209,53524.34624.58 


17 


39,14394.65808.99 


42 


96,70857.39057.50 


67 


154,27320.12306.01 


92 


211.83782.85554.52 


18 


41,44053.16738.93 


43 


99,01115.89987.44 


08 


156,57578.68235.95 


93 


214.14041.36484.46 


19 


43,74911.67668.87 


44 


101,31374.40917.38 


69 


158,87837.14165.89 


94 


216.44299.87414.40 


20 


46.05170.18598.81 


45 


103,61632.91847.32 


70 


161,18095.65095.83 


95 


218,74558.38344.34 


21 


48,35428.69528.75 


46 


105,91891.42777.26 


71 


163,48354.16025.77 


96 


221,04816.89274.28 


22 


50.65687.20458.69 


47 


1Q8.22149.93707.20 


72 


165,78612.66955.71 


97 


223,35075.40204.22 


23 


52,95945.71388.63 


48 


110,52408.44637.14 


73 


168,08871.17885.65 


98 


225,65333.91134.16 


24 


55,26204.22318.57 


49 


112,82666.95567.08 


74 


170,39129.68815.59 


99 


227,95592.42064.11 


25 


• 57,56462.73248.51 


50 


115,12925.46497.02 


75 


172,69388.19745.53 


100 


230,25850.9^94.05 


26 


59,86721.24178.45 


51 


117,43183.97426.96 


76 


174.99646.70675.47 


101 


232.56109.43923.99 


27 


62,16979.75108.39 


52 


1 19.73442.48356.90 


77 


177,29905-21605.42 


102 


234,86367.94853.93 


28 


64,47238.26038.33 


53 


122,03700.992.86.84 


78 


179,60163.72535.36 


103 


237,16626.45783.87 


29 


66.77496.76968.27 


54 


124,33959.50216.78 


79 


181,90422.23465.30 


104 


239,46884.96713.81 


30 


69,07755.27898.21 


55 


126,64218.01140.73 


80 


184,20680.74395.24 


105 


241,77143.47643.75 


31 


71,38013.78828.15 


50 


128,94476.52076.67 


81 


186,50939.25325.18 


106 


244,07401.98573.69 


32 


73,68272.29758.09 


57 


131,24735.03006.61 


82 


188,81197.76255.12 


107 


246,37660.49503.63 


33 


75,98530.80688.04 


58 


133,54993.53936.55 


83 


191,11456.27185.06 


108 


248,67919.00433.57 


34 


78,28789.31617.98 


59 


135,85252.04866.49 


84 


193,41714.78115.00 


109 


250,98177.51363.51 


35 


80,59047.82547.92 


60 


138,15510.55796.43 


85 


195,71973.29044.94 


110 


253,28436.02293.45 



48 — 
IV 



RECHERCHE DU NOMRRE. 



1.0 9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 

1.0«9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 

1,0«9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 

1,0*9 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 



Log(i4-^.) 



0,0 3742.64979 
3342.37554 
2938.37776 
2530.58652 
2118.92990 
1703.33392 
1283.72247 

0.0* 860.01717 
432.13737, 



0,0« 



0,0» 



389.11662. 
346.05321. 
302.94705. 
259.79807. 
216.60617. 
173.37128. 
130.09330. 

86.77215. 

43.40774. 



40623. 
86949, 
85209 
64770. 
69938. 
98780, 
05172. 
61917. 
82642. 

36910. 
09506. 
53618. 
19908. 
56507. 
09000. 
20418. 
31226. 
79318 



0,0» 



0,0* 



0,0* 



0,0» 



39.06892.49910. 
34.72966.85363, 
30.38997.84812, 
26.04985.47390. 
21.70929.72230, 
17.36830.58464. 
13.02688.05227. 

8.68502.11648. 

4.34272.76862. 

3.90847.44584. 

3.47421.68884. 

3.03995.49761. 

2.60568.87215. 

2.17141.81245, 

1.73714.31849. 

1.30236.39028, 
86858.02780 
43429.23104 



63520, 
70231 
64083 
24084, 
07279 
35484 
20517 
56104, 
57427. 

52171. 
48615, 
00716, 
59231. 
67623, 
52976, 
11880, 
91249, 
64066, 

13102 
54068 
49181, 
34681 , 
20828. 
91882. 
06100, 
95722, 
66963. 

16739. 
03320. 
39869. 
39547. 
15513. 
80922. 
48926. 
32675 
45318 



05133.08 
25614.99 
45412.39 
67311.86 
35052.67 
77218.42 
10711.95 
89366.92 
51881.78 

52813.17 
72276.44 
93257.67 
19629.85 
04206.38 
80271.06 
08262.79 
28427.08 
89213.88 

88642.23 
77056.93 
05176.68 
78546.11 
19128.84 
26381.53 
37808.72 
88997.98 
73135.28 

24188.05 
04935.02 
40262.21 
94562.29 
71724.22 
15122.78 
07608.19 
71495.64 
68554.93 



hohbub. 


^^K^-^^) 


1,0»9 


0,0''39086. 32748. 30828. 22139. 17 


8 


34743.41957.87671.28640.14 


7 


30400 . 50733 . 15761 . 02389 . 69 


6 


26057 . 59074 . 1 50 1 . 57693 . 60 


5 


21714.66980.85333.08831.02 


4 


17371.74453.26641.70057.42 


3 


13028.81491 .38849.55598.63 


2 


0.0« 8685.88095.21869.79656.80 


1 


4342 . 94264 . 756 1 5 . 56407 . 44 


1,0«9 


0,0» 3908.64857.82376.70075.57 


8 


3474.35446.54844.13726.27 


7 


3040.06030.93017.78073.69 


6 


2605.76610.96897.56231.94 


5 


2171.47186.66483.37715.16 


4 


1737.17758.01775.14437.46 


3 


1302.88325.02772.77712.98 


2 


0,0' 868.58887.69476.18855.84 


1 


434.29446.01885.29180.14 


1,0'9 


0,0' 390.86501.61240.01183.14 


8 


347.43557.16251.78782.41 


7 


304.00612.66920.61969.27 


6 


260 . 57668 . 1 3246 . 50735 . 02 


5 


217.14723.55229.45070.99 


4 


173.71778.92869.44968.48 


3 


130.28834. 26166. 50418. 82 


2 


0,0» 86.85889.55120.61413.30 


1 


43.42944.79731.77943.26 


1,0>9 


0,0» 39 . 08650 . 31954 . 03400 . 37 


8 


34.74355.84132.85912.74 


7 


30.40061.36268.25480.37 


6 


26.05766.88360.22103.23 


5 


21.71472.40408.75781.33 


4 


17.37177.92413.86514.65 


3 


13.02883.44375.54303.18 


2 


0,0« 8.68588.96293.79146.93 


1 


4.34294.48168.61045.87 



f 



— 49 — 



IV (Suite). 



RECHERCHE DU NOMBRE, 1 


NOMBRE. 


Log(i4-^.) 


NOMBRE. 


Log(.+A) 


1,0» 9 


0,0» 3. 90865. 03353. 70373. 80 


1,0'*9 


Ô,0"390. 86503. 37127. 51 


8 


3.47435.58538.30272.28 


8 


347.43558.55224.62 


7 


3.04006.13722.58741.31 


7 


304.00613.73321.70 


6 


2.60576.68906.37780.90 


6 


260.57668.91418.73 


5 


2.17147.24089.73391.04 


5 


217.14724.09515.72 


4 • 


1.73717.79272.65571.73 


4 


173.71779.27612.66 


3 


1.30288.34455.14322.97 


3 


130.28834.45709.56 


2 


0,0" 86858.89637.19644.76 


2 


0,0" 86.85889.63806.42 


1 


43429.44818.81537.10 

« 


1 


43.42944.81903.23 


1.0»»9 


0,0»» 39086.50336.95337.72 


1,0»»9 


0.0" 39.08650.33712.91 


8 


34743.55855.08704.04 


8 


34.74355.85522.59 


7 


30400.61373.21636.06 


7 


30.40061.37332.27 


6 


26057.66891.34133.80 


6 


26.05766.89141.94 


5 


21714.72409.46197.23 


5 


21.71472.40951.62 


4 


17371.77927.57826.38 


4 


17.37177.92761.30 


3 


13028.83445.69021.22 


3 


13.02883.44570.97 


2 


0,0» 8685.88963.79781.78 


2 


0,0»* 8.68588.96380.65 


1 


4342.94481.90108.04 


1 


4.34294.48190.32 


1,0"9 


0,0»^ 3908.65033.71116.78 






8 


3474.35585.52121.17 






7 


3040.06137.33121.23 






6 


2605.76689.14116.9^ 






5 


2171.47240.95108.30 






4 


1737.17792.76095.33 






3 


1302.88344.57078.01 






2 


0,0'* 868.58896.38056.35 






l 


434.29448.19030.35 







50 
V 





RECHERCHE DU NOMBRE. 


a 


Logd 


a 


Loga 


1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 

11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 




30102.99950.03981.19521.37388.95 

47712.12547.19662.43729.50279.03 

60205.99913.27902.39042.74777.89 

69897.00043.36018.80478.62611.05 

77815.12503.83643.63250.87667 98 

84509.80400.14256.83071.22162.59 

90308 . 99869 . 9 1 943 . 58564 . 1 2 1 66 . 84 

95424 . 25094 . 39324 . 87459 . 00558 . 07 



04130.26851.58225.04075.01999.71 
07918 . 12460 . 47624 . 82772 . 25056 . 93 
11394.33523.06836.76920.65051.58 
14612.80356.78238.02592.59551.53 
17609.12590.55681.24208.12890.09 
2041 1 . 99826 . 55924 . 78085 . 49555 . 79 
23044.89213.78273.92854.01698.94 
25527 . 2505 1 . 03306 . 06980 . 37947 . 1 
27875 . 36009 . 52828 . 96 1 53 . 63334 . 76 
30102.99956.63981 . 19521 .37388.95 


21 
22 
23 
24 
25 
26 
27 
28 
29 
30 

31 
32 
33 
34 
35 
36 
37 
38 
39 
40 


3222 1 . 92947 . 339 1 9 . 26800 . 7244 1 . 62 
34242 . 26808 .22206 . 23596 . 39388 . 06 
36172.78360.17592.87886.77771.12 
38021.12417.11606.02293.62445.87 
39794 . 00086 . 72037 . 60957 . 25222 . 1 1 
4 1 497 . 33479 . 708 1 7 . 96442 . 02440 . 53 
43136.37641.58987.31188.50837.10 
44715.80313.42219.22113.96940.48 

46239 . 79978 . 98956 . 08733 . 28467 . 63 
47712.12547.19662.43729.50279.03 

49136.16938.34272.67966.67041.00 
50514. 99783 . 1 9905 . 97606 . 86944 . 74 
51851.39308.77887.47804.52278.74 
53147.89170.42255.12375.39087.89 

54406 . 80443 . 50275 . 63549 . 84773 . 64 
55630 . 25007 . 67287 . 2650 1 . 75335 . 96 
56820 . 1 7240 . 66994 . 99680 . 84506 . 90 
57978.35966.16810.15675.00723.70 
59106.46070.26499.20650.15330.61 
60205 .99913. 27962 . 39042 . 74777 . 89 




7r = 3,14159.26535 
- = 0,31830.98861 

TT 

7r'=9,86960. 44010 

V/Ï= 1,77245. 38509 

Log7r = 0,49714.98726 


.89793 
.83790 
.89358 
.05516 
.94133 


.23846.26433.83 
.67153.77675.27 
.61883.44910.00 
.02729.31674.83 
.85435.12682.88 



— 51 — 

V (Suite). 



a 


RECHERCHE 


DU ]> 
a 


ÏOMBRË. 


Loga 


Loga 


41 


61278.38567.19735.49450.94118.50 


71 


85125.83487.19075.28609.28294.35 


42 


62324 . 92903 . 97900 . 46322 . 09830 . 57 


72 


85733.24964.31268.46023.12724.91 


43 


63346 . 84555 . 79586 . 52640 . 5088 1 . 53 


73 


86332 . 2860 1 . 20455 . 90 1 07 . 43869 . 00 


44 


64345 . 26764 . 86 I 87 . 43 1 1 7 . 76777 . 6 1 


74 


86923.17197.30976.19202.21895.84 


45 


6M21. 25137. 75343. 67937. 61369. 12 


75 


87506 . 12633 .91700 . 04686 . 75501 . 14 


46 


66275.78316.81574.07408.15160.07 


76 


88081.35922.80791.35196.38112.65 


47 


07209.78579.35717.46441.42193.99 


77 


88649.07251.72481.87146.24162.30 


48 


68124.12373.75587.21814.99834.82 


78 


89209.46026.90480.40171.52719.56 


49 


09019.60800.28513.66142.44325.17 


79 


89762.70912.90441.42799.48213.86 


50 


69897.00043.36018.80478.62611.05 


80 


90308.99869.91943.58564.12166.84 


51 


70757.01760.97936.36583.51977.98 


81 


90648.50188.78649.74918.01116.13 


52 


7 1 600 . 33436 . 34799 . 1 5963 . 39829 . 47 


82 


91381.38523.83716.68972.31507.45 


53 


72427 . 58696 . 00789 . 04563 . 29922 . 92 


83 


91907 . 80923 . 76073 . 90383 . 27603 . 52 


54 


73239 . 37598 . 22968 . 50709 . 88226 . 04 


84 


92427.92860.61881.65843.47219.51 


55 


74036 . 26894 . 94243 . 84553 . 646 1 . 77 


85 


92941.89257.14292.73332.64310.00 


56 


74818.80270.06200.41635.34329.43 


86 


93449.84512.43567.72161.88270.48 


57 


75587.48556.72491.39883.13613.79 


87 


93951.92526.18618.52462.78746.66 


58 


76342 . 79935 . 62937 . 28254 . 65856 . 58 


88 


94448. 26721. 5Ô168. 62639. 14166. 55 


59 


77085.20116.42144.19026.06563.85 


89 


94939 . 00066 . 44912 . 78472 . 35433 . 70 


60 


77815.12503.83643.63250.87667.98 


90 


95424 . 25094 . 39324 . 87459 . 00558 . 07 


61 


78532 . 98350 . 1 0767 . 03388 . 57485 . 1 4 


91 


95904.13923.21093.59991.87214.17 


62 


79239 . 16894 . 98253 . 87488 . 04429 . 95 


92 


96378 . 78273 . 45555 . 26929 . 52549 . 02 


63 


79934 . 05494 . 53581 . 70530 . 22720 . 65 


93 


96848.29485.53935.11696.17320.03 


64 


80617.99739.83887.17128.24333.68 


94 


97312 . 78535 . 99698 . 65962 . 19582 . 94 


65 


81291.33566.42855.57399.27662.63 


95 


97772 . 36052 . 88847 . 76632 . 25945 . 8 1 


66 


81954.39355.41868.67325.89667.69 


96 


98227 . 1 2330 . 39568 . 41336 . 37223 . 77 


67 


82607.48027.00826.43414.91316.29 


97 


98677.17342.66244.85178.43618.12 


68 


83250.89127.06236.31896.76476.84 


98 


99122.60756.92494.85663.81714.12 


69 


83884 . 90907 . 37255 . 3 1 6 1 6 . 28050 . 1 6 


99 


99563.51945.97549,91534.02557.78 


70 


84509 . 80400 . 1 4256 . 8307 1.22162.59 


100 






— 52' ■ 
VI 





LO&ARITHMES DES FACTORIELLES. 


, . 


SOMMES DES L0GARITBME2 


^DESN 

n 


OMBBES NATURELS. 


SOMU 

2n-i 


ES DES LOG. DES NOMBRES IMPAIRS. 


n 


L0g(l.2.3 Il) 


Log(i.2.3 n) 


Log[i.3.5.7 (21—1)] 


1 


0.0 


31 


33,9 1 502. 1 7687.59992.30990 


1 


0,0 


2 


0,30102.99956.63981.19521 


32 


35,4201 7. 1 7470.79898.28597 


3 


0,47712.12547.19662.43730 


3 


0,77815.12503.83643.63251 


33 


36,93868.56869.57785.76401 


5 


1,17609.12590.55681.24208 


4 


1,38021.12417.11606.00294 


34 


38,47016.46040.00040.88777 


7 


2.02118.92990.69938.07279 


5 


2,07918.12460.47624.82772 


35 


40,01423.26483.50316.52326 


9 


2,97543.18085.09262.94738 


6 


2,85733.24964.31268.46023 


36 


41,57053.51491.17603.78828 


11 


4,01682.44936.67487.98813 


7 


3,70243.05364.45525.29094 


37 


43,13873.68731.84598.78509 


13 


5, 1 3076.78459.74324.75734 


8 


4,60552.05234.37468.87658 


38 


44,71852.04698.01408.94184 


15 


6,30685.91050.30005.99942 


9 


5,55976.30328.76793.75117 


39 


46,30958.50768.27908. 14834 


17 


7,53730.80264.08279.92796 


10 


6,55976.30328.76793.75117 


40 


47,91 164.50681.55870.53877 


19 


8,81606.16273.61 108.88950 


11 


7,60115.57180.35018.79192 


41 


49.52442.89248.75606.03328 


21 


1 0,1 3828.09220.05028. 15751 


12 


8,68033.69640.82643.6 1 965 


42 


51,14767.82152.73506.49650 


23 


1 1,50000.87581 . 1262 1 .03637 


13 


9,79428.03163.89480.38885 


43 


52,781 14.66708.53093.02290 


25 


12,89794.87667.84658.64595 


14 


10,94040.83520.67718.41478 


44 


54,42459.93473.39280.45408 


27 


1 4,3293 1 .25309.43645.95783 


15 


124 1649.961 1 1.23399.65686 


45 


56.07781.18611.14624.13346 


29 


15,79171.05288.42602.04510 


16 


13,32061.95937.79324.43772 


46 


57,74056.96927.96198.20754 


31 


1 7,28307.22226.76874.72483 


17 


14,55106.85151.57598.36626 


47 


59,41266.75507.31915.67195 


33 


18,80158.61625.54762.20288 


18 


1 5,80634. 1 0202.60904.43606 


48 


6 1 ,09390.8788 1 .07502.890 1 


35 


20,34565.42069.05037.83837 


19 


17,08509.46212.13733.39760 


49 


62,78410.48681.36016.55153 


37 


21,91385.59309.72032.83518 


20 


18,38612.46168.77714.59281 


50 


64,48307.48724.72035.3563 1 


39 


23,50492.05379.98532.04168 


21 


19,70834.39116.11633.86082 


51 


66. 1 9064.50485.6997 1 .722 1 5 


41 


25,11770.43947.18267.53619 


22 


21,05076.65924.33840.09678 


52 


67,90664.83922.04770.88178 


43 


26.751 17.28502.97854.06260 


23 


22,4 1 249.44284.5 1 432.97565 


53 


69,63092.42618.05559.92742 


45 


28.40438.53640.73 1 97.74 1 97 


24 


23,79270.56701.63038.99859 


54 


7 1 ,3633 1 .802 1 6.28528.43452 


47 


30.07648.32220.08915.20639 


25 


25,19064.56788.35076.60816 


55 


73,10368.07111.22722.28005 


49 


31,76667.93020.37428.86781 


26 


20.6056 1 .90268.05894.57258 


56 


74,85186.87381.28972.69641 


51 


33.47424.94781.35365.23365 


27 


28,03698.27909.64881.88446 


57 


76,60774.35938.01464.09524 


53 


35.19852.53477.36154.27928 


28 


29.48414.08223.07101.10560 


58 


78,37117.15873.64401.37778 


55 


36.93888.80372.30398.12482 


29 


30,94653.88202.06057.19294 


59 


80,14202.35990.06545.56804 


57 


38,69476.28929.02889.52365 


30 


32,42366.00749.25719.63023 


60 


81.92017.48493.90189.20055 


59 


40,46561.49045.45033.71301 



- 53 — 



VI (Suite). 



LOGARITHMES DES FACTORIELLES. 1 




SOMMES DES LOGARITHMES DES NOMBRES NATURELS. 


SOMMES DES L06. DES NOMBRES IMPAIRS. | 


n 


Log(i.2.3 n) 


n 


Log(i.a.3. .... n) 


2n-i 


Log[i.3.5.7 (3i-i)] 


61 


83.70550.46844.00956.23444 


81 


1 20,7632 1 .274 1 3.78242.40739 


61 


• 
42,25094.47395.55800.74780 


62 


85.49789.63783.99210.10932* 


82 


122,67702.65937.61959.09712 


63 


44,05028.52890.09382.45310 


63 


87,29723.69233.52791.81462 


83 


1 24.596 1 0.4686 1 .38033.00095 


65 


45,86319.86456.52238.02709 


64 


89, 1 034 1 .08973.36678.98590 


84 


126,52038.3972 1 .999 14.65938 


67 


47,68927.34483.53064.46 1 24 


65 


90,91633.02539.79534.55990 


85 


1 28,44980.28979. 14207.3927 1 


69 


49.52812.25390.90319.77740 


66 


92,73587.41895.21403.23316 


86 


130,38430.13491.57775.11433 


71 


51,37938.08878.09395.06350 


67 


94,56194.89922.221229.66730 


87 


1 32.32382.060 1 7,70393.68896 


73 


53,24270.37479.29850.96457 


68 


96,39445.79049.28465.98627 


88 


134,26830.32739.26562.26535 


75 


55,11776.50113.21551.01144 


69 


98,23330.69956.6572 1 .30244 


89 


136,21769.32805.71475.05007 


77 


57,00425.57364.94032.88290 


70 


1 00,07840.50356.79978. 1 33 1 5 


90 


138,17193.57900.10799.92466' 


79 


58,90188.28277.84474.31089 


71 


101,92966.33843.90053.41924 


91 


140,13097.71823.31893.52458 


81 


60,8 1 036.78466.63 1 24.06007 


72 


1 03,78699.58808.3032 1 .87947 


92 


142,09470.50096.77448.79388 


83 


02,72944.59390.39197.96391 


73 


105,65031.87409.50777.78055 


93 


144,06324.79582.31383.91084 


85 


64.65886.48647.53490.09723 


74 


107,51955.04606.81753.97257 


94 


146,03637.58118.31082.57047 


87. 


66,59838.41 173.72109.22186 


75 


109,39461.17240.73454.01944 


95 


148,01409.94171.19930.33679 


89- 


68,54777.41240.17022.00059 


76 


111.27542.53163.54245.37140 


96 


149,99637.06501.59498.75015 


91 


70,50081.55163.38115.60650 


77 


1 13,10191.60415.26727.24286 


97 


151,98314.23844.25743.60194 


93 


72,47529.84048.92050.72347 


78 


1 15,05401.06442.17207.64458 


98 


1 53,97436.8460 1 . 1 8238.45857 


95 


74,45302.20701.80898.48979 


79 


1 16,95163.77355.07649.07257 


99 


155,97000.30547.15788.37391 


97 


76,43979.38044.47143.34157 


80 


1 18,85472.77224.99592.6582 1 


100 


157,97000.36547.15788.37391 


99 


78,43542.89990.44093.25691 


■H-^lï 


Loga: = /i(^a;- i ) 






h étant le module et n un nombre infini. 

• 



— 54 
VII 



LOGARITHMES II 

POUR LES CALCULS D'INTERET COMPOSE ET «'ANNUITES. 1 


r 


Logr 


r 


Logr 


100 

1/8 
1/4 
3/8 
1/2 
5/8 
3/4 
7/8 

101 

-1/8 
1/4 
3/8 
1/2 
5/8 
3/4 
7/8 

102 

1/8 
1/4 
3/8 

1/2 
5/8 
3/4 
7/8 



00054.25290.92294.07367.23824.92 
00108.43812.92219.91611.71633.59 
00162.55582.86737.35618.33701.88 
00216.60617.56507.67623.04206.38 
00270.58933.75924.92872.50377.92 
00324.50548. 1 3 1 47.05844.573 1 4.69 
00378.35477.30126.83174.10397.35 

00432.13737.82642.57427.51881.78 
00485.85346.20328.71868.24118.62 
00539.50318.86706.16353.88949.29 
00593.08672. 1 92 1 2.44504.9 1 1 41 .64 
00646.60422.49231.72283.13241.27 
00700.05586.02124.58117.49914.14 
00753.44178.97257,64713.11728.71 
00806.762 1 7.48033.02678.5 1 358.57 

00860.01717.61917.56104.89366.92 
00913.20695.40471.90230.02049.45 
00966.33166.79379.41318.20240.28 
1 1 9.39 1 47.68474.88886.75605.39 
01072.38653.91773.10408.19340.61 
01125.31701.27497.18616.28426.58 
01178.18305.48106.81543.04767.41 
01230.98482.20326.25412.64910.72 


103 

1/8 
1/4 
3/8 

1/2 
5/8 
3/4 
7/8 

104 

1/8 
1/4 
3/8 
1/2 
5/8 
3/4 
7/8 

105 

1/8 
1/4 

3/8 
1/2 

5/8 
3/4 
7/8 


01283.72247.05172.20517.10711.95 
01336.39615.57981.50197.65334.01 
1 389.00603.28438.63054.53948.54 
01441.55225.60603.08507.04505.00 
01494.03497.92936.55824.40940.24 
01546.45435.58329.96747.39201.04 
01598.81053.84130.31819.15436.68 
01651.10367.92167.40543.15675.39 

01703.33392.98780.35484.77218.42 
1 755.50 1 44. 1 4844.00432.33857.27 
01807.60636.45795.12732.39833.16 
01859.64884.91658.49912.91203.31 
01911.62904.47072.80707.27945.52 
01963.54710.01316.40591.05711.26 
02015.40àl6.38332.91942.326i8.10 
02067.19738.36756.68935.73845.43 

02118.92990.69938.07279.35052.67 
02170.60088.05968.58902.44768.42 
02222.21045.07705.91701.65891.34 
02273.75876.32798.74451.77291.35 
02325.24596.33711.46986.78192.35 
02376.67219.57748.75755.80547.37 
02428.03760.47079.94857.67974.17 
02479.34233.38763.32657.13995.17 




-log. w = 0,24857. 49363. 4'3 
-log. 2 =0,15051.49978.31 
-log. 271=0,39908. 99341. 7Ç 
i log. ^=0.09805. 99385. K 
fe--- 0,43429. 44819. 03251. 8S 


^066.9271 
990.59761 
>057.5247 
)076.3295 
1765.1128 


7.56341.44145.45 
O. 68694. 47362.25 
3.25035.91507.70 
6.87646.96783.20 
9.18916,60508.22944 



— 55 — 
VU (Suiif). 





LOGARITHMES 


1 




POUR LES CALCDLS D'INTÉRÊT COMPOSE ET D'ANNUITES. il 


r 


Logr 


r 


Logr 


106 


02530.58652.64770.24084.67311.86 


109 


03742.64979.40623.63520.05133.08 


1/8 


02581.77032.52009.08721.27631.30 


1/8 


03792.42567.13626.14073.32009.34 


1/4 


02632.89387 .22349. 1 4768.52 1 43. 1 5 


1/4 


03842.14456.42459.44997.66327.99 


3/8 


02683.95730.92644.29003.501 11.18 


3/8 


03891.80660.30369.65942.97828.90 


1/2 


02734.96077.74756.528 1 7.4 11 84.44 


1/2 


03941.41191.76137.14315.56759.09 


5/8 


02785.90441.75579.44435.71943.92 


5/8 


03990.96063.74096.93258.68 1 1 1 .54 


3/4 


02836.78836.97061.47417.04869.83 


3/4 


04040.45289.14158.98020.62633.61 


7/8 


02887.61277.36229.05527.14337.03 


7/8 


04089.88880.81828.30789.75697.32 


107 


02938.37776.85209.64083.45412.39 


110 


04139.26851.58225.04075.01999.71 


1/8 


02989.08349.3 1 254.57865. 13130.11 


1/8 


04188.59214.20104.32710.11511.05 


1/4 


03039.73008.56761.85682.42552.43 


1/4 


04237.85981.39876.14558.70105.34 


3/8 


03090.3 1 768.39298.7 1 698.73275.28 


3/8 


04287.07165.85624.99997.46886.89 


1/2 


03 1 40.84642.5 1 624. 1 3597.76 1 03.64 


1/2 


04336.22780.21129.50253.29361.58 


5/8 


03191.31644.61711.17687.54393.28 


5/8 


04385.32837.05881.84670.07287.09 


3/4 


03241.72788.32769.21032.28025.37 


3/4 


04434.37348.95107.16980.26267.00 


7/8 


03292.08087.23266.00702.24141.86 


7/8 


04483.36328.39782.80655.52923.31 


108 


03342.37554.86949.7023 1 .256 1 4.99 


111 


04532.29787.86657.43410.34785.93 


1/8 


03392.61204.72870.63370.55746.80 


1/8 


04581.17739.78270.10931.79869.96 


1/4 


03442.79050.25403.05227.05886.60 


1/4 


04630.00 1 96.52969. 1 9908.23266.86 


3/8 


03492.9 1 1 04.84266.70873.4 1 5 1 0.08 


3/8 


04678.77 1 70.4493 1 .20428.90949.00 


1/2 


03542.97381.84548.31516.51814.64 


1/2 


04727.48673.84179.47826.14373.22 


5/8 


03592.97894.56722.88310.38046.74 


5/8 


04776.14718.96602.84030.93361.91 


3/4 


03642.92656.26674.93898.66579.82. 


3/4 


04824.753 1 8.03974.085 1 2.49 1 36.50 


7/8 


03692.81680.15719.61771.44201.03 


7/8 


04873.30483.23968.3887 1 .5427 1.13 


Log(.+ 


')-'(-?-?-?-■) 






Log.^-d 


S-'(^è-si--) 






Log(.T-f 


JN — loi-V 1 jlF ^ , ' ( '' V 


H 




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Logx=^ 


[log {x+i) + log (x - I )] + ^ [log [x 


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JOHN Q. WOLBACH LIBRARY 

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CAMBROOC. MASS. 0»tS8